Колебания и волны. Алешкевич В.А - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
62
Çíàÿ âîëíîâûå ÷èñëà
p
k
è íîðìàëüíûå ÷àñòîòû
p
ω , íå ñîñòàâëÿåò òðóäà çàïèñàòü
âûðàæåíèÿ äëÿ ñìåùåíèé âñåõ ìàññ, êàê ôóíêöèé âðåìåíè. Äëÿ ð-îé ìîäû ìîæíî çàïèñàòü:
);sin(sin),(
0
ppnppnp
txstxs
ϕ+ω⋅=
k
(3.56)
çäåñü x
n
= na; n = 1, 2, ..., N.
Àìïëèòóäà
p
s
0
è íà÷àëüíàÿ ôàçà
p
ϕ
îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, à
ð
k
è
ð
ω
 ñâîéñòâàìè ñàìîé ñèñòåìû (ôîðìóëû (3.54) è (3.55)).
 ñèëó ëèíåéíîñòè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå êîëåáàíèé
ïîëó÷àåì äëÿ ñìåùåíèÿ âñåõ ÷àñòèö âûðàæåíèå:
()
∑
=
p
npn
txstxs
,,),(
(3.57)
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ òîëüêî ïî òåì ìîäàì, êîòîðûå «ó÷àñòâóþò» â êîëåáàíèÿõ.
Òàê, íàïðèìåð, óäåðæèâàÿ âñå âðåìÿ ñðåäíþþ ìàññó â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ,
ìû íå ìîæåì âîçáóäèòü ìîäû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè p = I, III, ..., ïîñêîëüêó ýòè ìîäû
«òðåáóþò» ñìåùåíèÿ öåíòðàëüíîé ìàññû.
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3.55), íåòðóäíî âû÷èñëèòü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû êîëåáëþ-
ùèõñÿ ìàññ íà øíóðå.
Íà ðèñ. 3.17 èçîáðàæåíû ìîäû êîëåáàíèé â ñèñòåìå ñ îäíîé, äâóìÿ è òðåìÿ
ìàññàìè è äëÿ êàæäîé ìîäû óêàçàíû âåëè÷èíû íîðìàëüíûõ ÷àñòîò.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ñâÿçü òèïà (3.55) ìåæäó ÷àñòîòîé
ω
è âîëíîâûì
÷èñëîì
k
íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì. Ýòî ñîîòíîøåíèå áóäåò äàëåå èñ-
ïîëüçîâàíî ïðè àíàëèçå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ.
Ðèñ. 3.17.
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
1
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
2
1
1
w
I
aa
mm
m
aa
N =3
2
=
2F
ma
w
II
2
=
2F
ma
w
III
2
=
2F
ma
w
II
2
=
3F
ma
N =2
w
I
a
m
a
2
=
F
ma
m
a
N
=1
w
a
m
2
=
2F
ma
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
1
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
2
1
1
62                                                                    Êîëåáàíèÿ è âîëíû
                        m
                  a           a                                            2       2F
     N=1                                                               w       =   ma

                        m     a    m
                   a                        a                                      F
     N=2                                                               w 2I =
                                                                                   ma



                                                                       w 2II= 3F
                                                                              ma


                        m          m                  m
                              a              a
                   a                                          a                  æ    1 ö
     N=3                                                               w 2I = 2F ç1 -   ÷
                                                                              ma è     2ø




                                                                       w 2II= 2F
                                                                              ma



                                                                        2     2F æ     1 ö
                                                                       wIII = ma çè1 + 2 ÷ø
                                           Ðèñ. 3.17.

         Çíàÿ âîëíîâûå ÷èñëà k p è íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ω p , íå ñîñòàâëÿåò òðóäà çàïèñàòü
âûðàæåíèÿ äëÿ ñìåùåíèé âñåõ ìàññ, êàê ôóíêöèé âðåìåíè. Äëÿ ð-îé ìîäû ìîæíî çàïèñàòü:
                            s p ( x n , t ) = s 0 p sin k p x n ⋅ sin(ω p t + ϕ p ); (3.56)
çäåñü xn = na; n = 1, 2, ..., N.
         Àìïëèòóäà s 0 p è íà÷àëüíàÿ ôàçà ϕ p îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, à
k ð è ωð — ñâîéñòâàìè ñàìîé ñèñòåìû (ôîðìóëû (3.54) è (3.55)).
          ñèëó ëèíåéíîñòè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå êîëåáàíèé
ïîëó÷àåì äëÿ ñìåùåíèÿ âñåõ ÷àñòèö âûðàæåíèå:
                                  s ( x n , t ) = ∑ s p (x n , t ),                       (3.57)
                                                  p
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ òîëüêî ïî òåì ìîäàì, êîòîðûå «ó÷àñòâóþò» â êîëåáàíèÿõ.
        Òàê, íàïðèìåð, óäåðæèâàÿ âñå âðåìÿ ñðåäíþþ ìàññó â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ,
ìû íå ìîæåì âîçáóäèòü ìîäû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè p = I, III, ..., ïîñêîëüêó ýòè ìîäû
«òðåáóþò» ñìåùåíèÿ öåíòðàëüíîé ìàññû.
        Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3.55), íåòðóäíî âû÷èñëèòü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû êîëåáëþ-
ùèõñÿ ìàññ íà øíóðå.
        Íà ðèñ. 3.17 èçîáðàæåíû ìîäû êîëåáàíèé â ñèñòåìå ñ îäíîé, äâóìÿ è òðåìÿ
ìàññàìè è äëÿ êàæäîé ìîäû óêàçàíû âåëè÷èíû íîðìàëüíûõ ÷àñòîò.
         çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ñâÿçü òèïà (3.55) ìåæäó ÷àñòîòîé ω è âîëíîâûì
÷èñëîì k íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì. Ýòî ñîîòíîøåíèå áóäåò äàëåå èñ-
ïîëüçîâàíî ïðè àíàëèçå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ.

Страницы