Колебания и волны. Алешкевич В.А - 64 стр.

                                                                                             63

                                       ËÅÊÖÈß 4
        Ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé â ñèñòåìå ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Âîçáóæäåíèå âîëí. Ãðóïïà âîëí è åå ñêîðîñòü. Âîëíîâîå óðàâ-
íåíèå. Âîëíû â ñïëîøíîì øíóðå. Îòðàæåíèå âîëí. Âîçáóæäåíèå ñòîÿ÷èõ âîëí â øíóðå.
Ìîäû êîëåáàíèé. Âîëíû â óïðóãèõ òåëàõ. Ïîïåðå÷íûå âîëíû. Ýíåðãèÿ, ïåðåíîñèìàÿ âîëíîé.
Âåêòîð Óìîâà. Ïðîäîëüíûå âîëíû. Ñêîðîñòü âîëí â òîíêîì è òîëñòîì ñòåðæíÿõ. Îòðà-
æåíèå è ïðîõîæäåíèå âîëí íà ãðàíèöàõ äâóõ ñðåä. Óäåëüíîå âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå.


        Ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé â ñèñòåìå ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ N >> 1 ìàññ íà ðåçèíîâîì øíóðå (ðèñ. 4.1à). Îòêëîíèì íåñêîëüêî ìàññ
â ñåðåäèíå øíóðà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ðèñ. 4.1á), è çàòåì îòïóñòèì èõ â ìîìåíò âðåìå-
íè t = 0. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ýòà íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ïî ôîðìå
èìïóëüñ, ñ òå÷åíèåì âðåìåíè òðàíñôîðìèðóåòñÿ â äâà îäèíàêîâûõ èìïóëüñà, êîòîðûå ïîáå-
ãóò â ðàçíûå ñòîðîíû ñ íåêîòîðîé êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ c (ðèñ. 4.1â). Ýòè èìïóëüñû äîáåãóò äî
êîíöîâ øíóðà, èçìåíÿò ñâîþ ïîëÿð-                    m          a         N
íîñòü ïðè îòðàæåíèè è ïîáåãóò â îá-
                                          à)                                  lè
ðàòíîì íàïðàâëåíèè (ðèñ. 4.1ã). Ïîñ-
ëå âñòðå÷è â ñåðåäèíå øíóðà îíè îò-                                 2s0
                                          á)         s0                            s0
ðàçÿòñÿ åùå ðàç, âîññòàíîâÿò èñõîä-              c                                      c
íóþ ïîëÿðíîñòü è ñïóñòÿ âðåìÿ             â)
∆t = 2l / c âíîâü âñòðåòÿòñÿ â ñåðå-
äèíå, ñôîðìèðîâàâ èñõîäíûé èì-            ã)              c               c
                                                     s0                            s0
ïóëüñ. Çàòåì ýòîò ïðîöåññ ñ ïåðèî-                              l
äîì ∆t áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ äî òåõ ïîð,
ïîêà èìïóëüñû íå çàòóõíóò èç-çà äèñ-                            0                               x
ñèïàöèè ýíåðãèè.                                              Ðèñ. 4.1.
        Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîâñåäíåâíîãî îïûòà â ýòîì íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ïîñêîëüêó ñìå-
ùåíèÿ ãðóïïû ìàññ âåäóò ê âîçíèêíîâåíèþ óïðóãèõ ñèë, ñòðåìÿùèõñÿ âåðíóòü ýòó ãðóïïó â
ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ è îäíîâðåìåííî âûâåñòè ñîñåäíèå ÷àñòèöû èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
        Ñ òî÷êè çðåíèÿ îïèñàíèÿ êîëåáàíèé «íà ÿçûêå ìîä» òàêæå ïîíÿòíî, ÷òî îòêëîíèâ,
à çàòåì îòïóñòèâ ãðóïïó ÷àñòèö, ìû âîçáóæäàåì ìíîãî ìîä. Êîëåáàíèÿ âñåõ N ÷àñòèö ïðî-
èñõîäÿò îäíîâðåìåííî íà íåñêîëüêèõ íîðìàëüíûõ ÷àñòîòàõ ω ð . Âñå ýòè ÷àñòîòû ðàçëè÷-
íû, è ñóììà íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áèåíèÿ. Ïîñêîëüêó ÷åðåç âðåìÿ,
ðàâíîå ïåðèîäó áèåíèé, êîëåáàíèÿ ãðóïïû ÷àñòèö â öåíòðå øíóðà âîññòàíîâÿòñÿ, òî î÷å-
âèäíî, ÷òî ïåðèîä áèåíèé ðàâåí óïîìèíàâøåìóñÿ íåñêîëüêî ðàíåå âðåìåíè ∆t = 2l / c .
       Îïðåäåëèì ñêîðîñòü ñ, èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ î áèåíèÿõ, êàê ñóïåðïîçèöèè íîð-
ìàëüíûõ êîëåáàíèé. Äëÿ ýòîãî âíà÷àëå ïåðåïèøåì äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (3.55) â âèäå
                                          k pa       1  pπ 
                           ω p = 2Ω sin      = 2Ω sin       .                             (4.1)
                                           2         2  N +1