Колебания и волны. Алешкевич В.А - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

65
Ëåêöèÿ 4
Íàïðèìåð, â ñëó÷àå òîíêîãî ðåçèíîâîãî øëàíãà ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ
1,0~
1
ρ êã/ì, íàòÿíóòîãî ñ ñèëîé
2
10~
F
Í, ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èìïóëüñà ïîëó÷àåòñÿ
ðàâíîé
30~
0
c
ì/ñ. Òàêàÿ ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøàÿ âåëè÷èíà ñêîðîñòè ïîçâîëÿåò ëåãêî
íàáëþäàòü ðàñïðîñòðàíåíèå è îòðàæåíèå èìïóëüñà.
Èòàê, ïîäâåäåì íåêîòîðûå èòîãè.
1. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ñðåäû, òî ñêîðîñòü
0
c
ðàñïðîñò-
ðàíåíèÿ èìïóëüñà íå çàâèñèò îò åãî ôîðìû, à ñàì èìïóëüñ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè íå èñêà-
æàåòñÿ (íåò äèñïåðñèè).
2. Åñëè îñü x íàïðàâèòü âäîëü øíóðà è çàäàòü íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå (â ìîìåíò
t = 0) â âèäå s(x), òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âîçìóùåíèå øíóðà áóäåò èìåòü âèä:
)(
2
1
)(
2
1
00
tcxstcxs
++−
. (4.7)
Ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò âîçìóùåíèå, áåãóùåå ñî ñêîðîñòüþ
0
c
â ïîëîæè-
òåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè õ, óêàçàííîì íà ðèñ. 4.1, à âòîðîå ñîîòâåòñòâóåò èìïóëüñó, ðàñ-
ïðîñòðàíÿþùåìóñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.
3. Ó êîíöîâ íåâåñîìîãî øíóðà ñ ìàññàìè
îáà èìïóëüñà îòðàæàþòñÿ. Îòðàæåííûé èìïóëüñ
èìååò ïðîòèâîïîëîæíóþ ïîëÿðíîñòü (íàïðàâëåíèå
ñìåùåíèÿ s) ïî ñðàâíåíèþ ñ ïàäàþùèì.
Àíàëîãè÷íûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ðåàëèçó-
þòñÿ äëÿ ñïëîøíîãî ìàññèâíîãî øíóðà ñ çàêðåï-
ëåííûìè êîíöàìè (ðèñ. 4.3).
4. Â îáëàñòè ïåðåêðûòèÿ áåãóùèõ èìïóëüñîâ îáðàçóåòñÿ êîëåáàíèå, íàçûâàåìîå ñòî-
ÿ÷åé âîëíîé. Òàê ìû ïðèõîäèì ê ïîíÿòèÿì áåãóùèõ è ñòîÿ÷èõ âîëí, ïðè ýòîì ñòîÿ÷àÿ âîëíà
ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñóïåðïîçèöèÿ âîëí, áåãóùèõ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Âîçáóæäåíèå âîëí. Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ íåâåñîìîãî øíóðà ñ ãðóçàìè, ïðà-
âûé êîíåö êîòîðîãî çàêðåïëåí, à ëåâûé ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû â ìîìåíò âðåìåíè
t = 0 íà÷èíàåò ñìåùàòüñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:
tsts ω= sin)(
0
. (4.8)
Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû ãðóçû, ñâÿçàííûå äðóã ñ äðóãîì îòðåçêàìè íàòÿíóòîãî
øíóðà, ðàíî èëè ïîçäíî íà÷íóò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ
÷àñòîòîé ω. Åñòåñòâåííî, ÷òî ñèñòåìó ãðóçîâ (ïî àíàëîãèè ñ ñèñòåìîé ñ äâóìÿ ãðóçàìè)
ìîæíî çàìåòíî ðàñêà÷àòü ëèøü â ñëó÷àå ðåçîíàíñà, êîãäà ÷àñòîòà ω ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç
íîðìàëüíûõ ÷àñòîò
p
ω
.
Âíà÷àëå ïðèäóò â äâèæåíèå ãðóçû âáëèçè ëåâîãî ïîäâèæíîãî êîíöà øíóðà, à ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè â êîëåáàíèÿ áóäóò âîâëåêàòüñÿ âñå íîâûå ãðóçû.
Òàêèå êîëåáàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âîëíîâîé ïðîöåññ (âîëíó), ðàñïðîñòðàíÿþ-
ùèéñÿ «ñëåâà  íàïðàâî» ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ
p
c
. Íà ðèñ. 4.4 èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ
êîëåáëþùèõñÿ ìàññ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè
0
t
. Ïîñêîëüêó ãðóçû êîëåáëþòñÿ «ïîïå-
Ðèñ. 4.3.
c
0
c
0
Ëåêöèÿ 4                                                                           65
        Íàïðèìåð, â ñëó÷àå òîíêîãî ðåçèíîâîãî øëàíãà ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ
ρ1 ~ 0,1 êã/ì, íàòÿíóòîãî ñ ñèëîé F ~ 10 2 Í, ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èìïóëüñà ïîëó÷àåòñÿ
ðàâíîé c0 ~ 30 ì/ñ. Òàêàÿ ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøàÿ âåëè÷èíà ñêîðîñòè ïîçâîëÿåò ëåãêî
íàáëþäàòü ðàñïðîñòðàíåíèå è îòðàæåíèå èìïóëüñà.
       Èòàê, ïîäâåäåì íåêîòîðûå èòîãè.
        1. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ñðåäû, òî ñêîðîñòü c 0 ðàñïðîñò-
ðàíåíèÿ èìïóëüñà íå çàâèñèò îò åãî ôîðìû, à ñàì èìïóëüñ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè íå èñêà-
æàåòñÿ (íåò äèñïåðñèè).
        2. Åñëè îñü x íàïðàâèòü âäîëü øíóðà è çàäàòü íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå (â ìîìåíò
t = 0) â âèäå s(x), òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âîçìóùåíèå øíóðà áóäåò èìåòü âèä:
                             1                 1
                               s ( x − c0 t ) + s( x + c0 t ) .              (4.7)
                             2                 2
        Ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò âîçìóùåíèå, áåãóùåå ñî ñêîðîñòüþ c 0 â ïîëîæè-
òåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè õ, óêàçàííîì íà ðèñ. 4.1, à âòîðîå ñîîòâåòñòâóåò èìïóëüñó, ðàñ-
ïðîñòðàíÿþùåìóñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.
        3. Ó êîíöîâ íåâåñîìîãî øíóðà ñ ìàññàìè                 c0
îáà èìïóëüñà îòðàæàþòñÿ. Îòðàæåííûé èìïóëüñ
èìååò ïðîòèâîïîëîæíóþ ïîëÿðíîñòü (íàïðàâëåíèå
ñìåùåíèÿ s) ïî ñðàâíåíèþ ñ ïàäàþùèì.
        Àíàëîãè÷íûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ðåàëèçó-
                                                                            c0
þòñÿ äëÿ ñïëîøíîãî ìàññèâíîãî øíóðà ñ çàêðåï-
                                                                 Ðèñ. 4.3.
ëåííûìè êîíöàìè (ðèñ. 4.3).
        4. Â îáëàñòè ïåðåêðûòèÿ áåãóùèõ èìïóëüñîâ îáðàçóåòñÿ êîëåáàíèå, íàçûâàåìîå ñòî-
ÿ÷åé âîëíîé. Òàê ìû ïðèõîäèì ê ïîíÿòèÿì áåãóùèõ è ñòîÿ÷èõ âîëí, ïðè ýòîì ñòîÿ÷àÿ âîëíà
ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñóïåðïîçèöèÿ âîëí, áåãóùèõ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.


         Âîçáóæäåíèå âîëí. Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ íåâåñîìîãî øíóðà ñ ãðóçàìè, ïðà-
âûé êîíåö êîòîðîãî çàêðåïëåí, à ëåâûé ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû â ìîìåíò âðåìåíè
t = 0 íà÷èíàåò ñìåùàòüñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:
                                    s (t ) = s0 sin ωt .                         (4.8)
        Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû ãðóçû, ñâÿçàííûå äðóã ñ äðóãîì îòðåçêàìè íàòÿíóòîãî
øíóðà, ðàíî èëè ïîçäíî íà÷íóò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ
÷àñòîòîé ω. Åñòåñòâåííî, ÷òî ñèñòåìó ãðóçîâ (ïî àíàëîãèè ñ ñèñòåìîé ñ äâóìÿ ãðóçàìè)
ìîæíî çàìåòíî ðàñêà÷àòü ëèøü â ñëó÷àå ðåçîíàíñà, êîãäà ÷àñòîòà ω ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç
íîðìàëüíûõ ÷àñòîò ω p .
       Âíà÷àëå ïðèäóò â äâèæåíèå ãðóçû âáëèçè ëåâîãî ïîäâèæíîãî êîíöà øíóðà, à ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè â êîëåáàíèÿ áóäóò âîâëåêàòüñÿ âñå íîâûå ãðóçû.
       Òàêèå êîëåáàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âîëíîâîé ïðîöåññ (âîëíó), ðàñïðîñòðàíÿþ-
ùèéñÿ «ñëåâà – íàïðàâî» ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ c p . Íà ðèñ. 4.4 èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ
êîëåáëþùèõñÿ ìàññ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t 0 . Ïîñêîëüêó ãðóçû êîëåáëþòñÿ «ïîïå-

Страницы