Колебания и волны. Алешкевич В.А - 68 стр.

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МГУ | Москва

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67
Ëåêöèÿ 4
.
2
2
sin
0
⋅=ω
a
a
c
p
p
pp
k
k
k
(4.14)
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè (4.14) íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèîííîé êðèâîé è èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.5à.
Íà ýòîé êðèâîé òî÷êàìè îòìå÷åíû çíà÷åíèÿ ÷àñòîò
p
ω
è âîëíîâûõ ÷èñåë
p
k
.
Ïóíêòèðîì èçîáðàæåíà ïðÿìàÿ
pp
c
k
0
=ω
. Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç (4.14) ïðåäåëüíûì ïåðå-
õîäîì ïðè
0→a
(íåïðåðûâíàÿ ñðåäà).
Èç ôîðìóëû (4.14) èëè èç ðèñ. 4.5à ìîæíî ñäåëàòü ðÿä ïðèíöèïèàëüíî
âàæíûõ âûâîäîâ.
1) Èç íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè
)(
pp
k
ω=ω
, îïèñûâàåìîé ôîðìóëîé (4.14), ñëåäó-
åò, ÷òî ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû
ppp
c
k/ω=
çàâèñèò îò
p
k
(èëè îò
p
ω
):
.
2
2
sin
0
a
a
cc
p
p
p
k
k
⋅=
(4.15)
Çàâèñèìîñòü (4.15) èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.5á.
Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå äèñïåðñèè ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê ðàñïðîñòðàíÿþ-
ùåéñÿ â íåé âîëíå. Ýêâèâàëåíòíûì ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå «äèñïåðñèÿ âîëíû â ñðåäå».
Åñëè ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû íå çàâèñèò îò
p
k
, êàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé
ñðåäû, òî ãîâîðÿò, ÷òî äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò.
2) Äëÿ ìàëåíüêèõ âîëíîâûõ ÷èñåë (
1<<a
p
k
, èëè
a
p
>>λ
) äèñïåðñèÿ ìàëà.
Ñêîðîñòü òàêèõ «äëèííûõ âîëí»
0
cc
p
≈
, è ñðåäà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ñïëîøíîé.
3) Ñ óâåëè÷åíèåì âîëíîâîãî ÷èñëà
p
k
(à çíà÷èò è
p
ω
) ñêîðîñòü
p
c
, êàê ýòî
ñëåäóåò èç (4.15), óáûâàåò. Òàêîå ïîâåäåíèå ñêîðîñòè íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé äèñïåðñè-
åé. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â îïòèêå, ïîìèìî ýòîé, ðåàëèçóåòñÿ è äðóãàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà
ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ñâåòà â íåêîòîðîì äèàïàçîíå ÷àñòîò ìîæåò âîçðàñòàòü ñ óâåëè÷åíèåì
÷àñòîòû.  ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ íàçûâàåòñÿ àíîìàëüíîé.
4) Äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà âîëíîâîå ÷èñëî è ÷àñòîòà äîñòè-
ãàþò ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé
N
k
è
N
ω
. Îíè ïîëó÷àþòñÿ èç (4.14) è (4.1) ïðè
1>>N
:
;
a
N
π
=
k
.2Ω=ω
N
Ðèñ. 4.5á.
Ðèñ. 4.5à.
w
p
w
N
k
N
k
p
c
0
k
p
0
0
p/2
c
0
c
p
k
p
a
2
Ëåêöèÿ 4                                                                                          67
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      wp
                                                                   c0
      wN




                 kp
                   0




               c
        0                           kN         kp                   0                p/2   k pa
                                                                                             2
                       Ðèñ. 4.5à.                                       Ðèñ. 4.5á.

                                                  k a
                                               sin p 
                               ω p = c0 k p ⋅      2 .                   (4.14)
                                               k pa 
                                                     
                                               2 
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè (4.14) íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèîííîé êðèâîé è èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.5à.
       Íà ýòîé êðèâîé òî÷êàìè îòìå÷åíû çíà÷åíèÿ ÷àñòîò ω p è âîëíîâûõ ÷èñåë k p .
Ïóíêòèðîì èçîáðàæåíà ïðÿìàÿ ω p = c 0 k p . Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç (4.14) ïðåäåëüíûì ïåðå-
õîäîì ïðè a → 0 (íåïðåðûâíàÿ ñðåäà).
         Èç ôîðìóëû (4.14) èëè èç ðèñ. 4.5à ìîæíî ñäåëàòü ðÿä ïðèíöèïèàëüíî
âàæíûõ âûâîäîâ.
         1) Èç íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ω p = ω(k p ) , îïèñûâàåìîé ôîðìóëîé (4.14), ñëåäó-
åò, ÷òî ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû c p = ω p / k p çàâèñèò îò k p (èëè îò ω p ):
                                                            k pa
                                                      sin
                                         c p = c0 ⋅        2 .                                (4.15)
                                                        k pa
                                            2
        Çàâèñèìîñòü (4.15) èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.5á.
       Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå äèñïåðñèè ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê ðàñïðîñòðàíÿþ-
ùåéñÿ â íåé âîëíå. Ýêâèâàëåíòíûì ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå «äèñïåðñèÿ âîëíû â ñðåäå».
Åñëè ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû íå çàâèñèò îò k p , êàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé
ñðåäû, òî ãîâîðÿò, ÷òî äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò.
       2) Äëÿ ìàëåíüêèõ âîëíîâûõ ÷èñåë ( k p a << 1 , èëè λ p >> a ) äèñïåðñèÿ ìàëà.
Ñêîðîñòü òàêèõ «äëèííûõ âîëí» c p ≈ c 0 , è ñðåäà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ñïëîøíîé.
       3) Ñ óâåëè÷åíèåì âîëíîâîãî ÷èñëà k p (à çíà÷èò è ω p ) ñêîðîñòü c p , êàê ýòî
ñëåäóåò èç (4.15), óáûâàåò. Òàêîå ïîâåäåíèå ñêîðîñòè íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé äèñïåðñè-
åé. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â îïòèêå, ïîìèìî ýòîé, ðåàëèçóåòñÿ è äðóãàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà
ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ñâåòà â íåêîòîðîì äèàïàçîíå ÷àñòîò ìîæåò âîçðàñòàòü ñ óâåëè÷åíèåì
÷àñòîòû.  ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ íàçûâàåòñÿ àíîìàëüíîé.
       4) Äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà âîëíîâîå ÷èñëî è ÷àñòîòà äîñòè-
ãàþò ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé k N è ω N . Îíè ïîëó÷àþòñÿ èç (4.14) è (4.1) ïðè N >> 1 :
                                 π
                           kN = ;           ω N = 2Ω.
                                 a

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