Колебания и волны. Алешкевич В.А - 69 стр.

68                                                                              Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âîëíû ñ ÷àñòîòîé ω > ω N â òàêîé ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íå
ìîãóò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ÷àñòîòå ω = ω N äëèíà âîëíû λ N = 2π / k N = 2a. Âîëíû ñ ìåíü-
øåé äëèíîé âîëíû íå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü, ïîñêîëüêó íà äëèíå ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ
âîëíû äîëæíî íàõîäèòüñÿ íå ìåíüøå äâóõ êîëåáëþùèõñÿ ãðóçîâ.
        Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ýëåêòðî-
ìàãíèòíûõ âîëí â òâåðäîì òåëå è â ïëàçìå, êðèâàÿ äèñïåðñèè ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íåêî-
òîðîé òî÷êè íà îñè ÷àñòîò ω(0) .  òàêèõ ñðåäàõ ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ýëåêòðîìàãíèò-
íûå âîëíû òîëüêî ñ ÷àñòîòàìè ω , ëåæàùèìè âíóòðè èíòåðâàëà ω(0) < ω ≤ ω N .
        êà÷åñòâå ïðèìåðà óêàæåì, ÷òî äëÿ êðèñòàëëîâ âåëè÷èíà F/a ∼ 15 Í/ì (F —
óïðóãàÿ ñèëà, âåëè÷èíà êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ìåæàòîìíûì âçàèìîäåéñòâèåì). Åñëè ïðè-
                                                F
íÿòü ìàññó èîíà ðàâíîé m ~ 6 ⋅10 −26 êã, òî ω N = 2~ 3 ⋅ 1013 c −1 . Ýòà ÷àñòîòà, êàê è
                                                ma
÷àñòîòû êîëåáàíèé ìîëåêóë CO2 è H2O, ëåæèò â èíôðàêðàñíîé îáëàñòè ýëåêòðîìàãíèò-
íîãî ñïåêòðà. Ïîýòîìó ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè Èʖèçëó÷åíèÿ â êðèñòàëëàõ èîíû ìîãóò
ñîâåðøàòü ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ.  ýòîì ÷àñòîòíîì îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå ìîæåò ñó-
ùåñòâîâàòü ñèëüíàÿ äèñïåðñèÿ ñâåòà.
        Îòìåòèì, ÷òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëí â ïðîòÿæåííûõ ñðåäàõ ïðîáëåìû «íà-
ñòðîéêè» ÷àñòîòû ω âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, ïîðîæäàþùåãî âîëíó, íà ÷àñòîòó ω p îä-
íîé èç ìîä ñðåäû íå ñóùåñòâóåò. Ëþáîå âîçäåéñòâèå âíåøíåé ñèëû, äàæå ñêîëü óãîäíî
áëèçêîé ê ãàðìîíè÷åñêîé, íà ñàìîì äåëå âñåãäà áóäåò êâàçèãàðìîíè÷åñêèì, õàðàêòåðè-
çóåìûì óçêèì èíòåðâàëîì ÷àñòîò ∆ω << ω . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ïðîòÿæåííîé ñðåäû ê
÷àñòîòå ω áóäóò áëèçêè ÷àñòîòû ω p ìîä ñ áîëüøèìè íîìåðàìè ð ( p >> 1) . Ðàçíîñòü
÷àñòîò äâóõ ñîñåäíèõ ìîä ∆ω p = ω p +1 − ω p , êàê ýòî ëåãêî âèäåòü èç ðèñóíêà 4.5, áóäåò
íàñòîëüêî ìàëîé, ÷òî ∆ω p << ∆ω. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé ÷àñòîòû ω âíåøíåãî âîç-
äåéñòâèÿ, ïðèêëàäûâàåìîãî ê ãðàíèöå ñðåäû, ïî íåé ïîáåæèò âîëíà, êîòîðóþ â ðÿäå
ñëó÷àåâ ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü ãàðìîíè÷åñêîé:
                                     s ( x, t ) = s 0 sin(ωt − kx ).                        (4.16)


        Ãðóïïà âîëí è åå ñêîðîñòü. Êàê è âíåøíåå âîçäåéñòâèå, âîëíà, âîçíèêàþùàÿ â
ñðåäå, áóäåò, ñòðîãî ãîâîðÿ, êâàçèãàðìîíè÷åñêîé, ò. ê. ∆ω p << ∆ω . Ïîýòîìó âìåñòî (4.16)
ñëåäóåò çàïèñàòü óðàâíåíèå âîëíû â áîëåå óñëîæíåííîì âèäå:
                         s ( x, t ) = s 0 ( x, t ) sin[ω0 t − k 0 x + ϕ 0 ( x, t )].        (4.17)
        Çäåñü àìïëèòóäà s 0 ( x, t ) è ôàçà ϕ 0 ( x, t ) ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ ôóí-
êöèÿìè âðåìåíè íà íåêîòîðîì ìàñøòàáå âðåìåíè τ (ñðàâíèòå ñ ôîðìóëîé (3.19)). Åñòå-
ñòâåííî, ÷òî òàêàÿ âîëíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðóïïó ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí, ÷àñòîòû êî-
òîðûõ ðàñïîëàãàþòñÿ âáëèçè îñíîâíîé ÷àñòîòû ω0 â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà ∆ω ≈ 2π / τ .
Êàæäàÿ èç âîëí ãðóïïû â ñðåäå ñ äèñïåðñèåé èìååò ñîáñòâåííóþ ôàçîâóþ ñêîðîñòü. Â
ñðåäå ñ íîðìàëüíîé äèñïåðñèåé âîëíû áîëüøåé ÷àñòîòû áóäóò äâèãàòüñÿ ìåäëåííåå,
÷åì âîëíû ìåíüøåé ÷àñòîòû. Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ