Колебания и волны. Алешкевич В.А - 70 стр.

Ëåêöèÿ 4                                                                                                   69
            s(x,t0)
                                                     R                              M
                2s0                                            u                               c
                 0
                                                                                                   x
              –2s0

                                                   Ðèñ. 4.6.
ãðóïïû âîëí, è åñëè òàêàÿ ñêîðîñòü ñóùåñòâóåò, òî êàê åå âû÷èñëèòü? Êàêîé ôèçè÷åñ-
êèé ñìûñë èìååò ýòà ñêîðîñòü è â ÷åì åå îòëè÷èå îò ôàçîâîé ñêîðîñòè ?
        ×òîáû îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû, ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ãðóïïó èç äâóõ âîëí
ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè s 0 è ñ áëèçêèìè ÷àñòîòàìè ω1 è ω 2 , áåãóùèõ â ïîëîæè-
                                                                  ω + ω2
òåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè õ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ∆ω = ω2 − ω1 << ω0 = 1      . Ñ òàêîé
                                                                     2
ñèòóàöèåé ìû óæå âñòðå÷àëèñü ïðè àíàëèçå áèåíèé äâóõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ. Çàäà-
äèì äèñïåðñèîííûå ñâîéñòâà ñðåäû äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ω = ω(k ) . Ñ åãî ïî-
ìîùüþ âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ k1 è k 2 äâóõ âîëíîâûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòîòàì
ω1 è ω 2 . Òîãäà óðàâíåíèå ãðóïïû âîëí ïðèìåò âèä:

                                                                        ∆ω    ∆k 
s ( x, t ) = s 0 sin(ω1t − k1 x ) + s 0 sin(ω 2 t − k 2 x ) = 2 s 0 cos    t−   x  sin(ω 0 t − k 0 x ). (4.18)
                                                                        2     2 
                                   k +k
Çäåñü ∆k = k 2 − k1 , k 0 = 1 2 .
                                       2
             Íà ðèñ. 4.6 èçîáðàæåíà ãðóïïà èç äâóõ âîëí â íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìî-
ìåíò âðåìåíè t 0 . Âûäåëèì äâå òî÷êè: Ì è R. Ïåðâàÿ èç íèõ îòâå÷àåò ôèêñèðîâàííîìó
çíà÷åíèþ ôàçû ϕ Ì = ω 0 t − k 0 x M , ïðè êîòîðîé sin ϕ M = 1. Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîðîñòü ýòîé
òî÷êè, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ dϕ M = ω0 dt − k 0 dx M = 0 , ðàâíà
                                     dx M ω 0
                                          =   c=                                                       (4.19)
                                      dt     k0
è ñîâïàäàåò ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ âîëíû ñ ÷àñòîòîé ω0 .
          Àìïëèòóäà êâàçèãàðìîíè÷åñêîé âîëíû (4.18) îïðåäåëÿåòñÿ êàê

                                                    ∆ω    ∆k 
                           s 0 ( x, t ) = 2 s 0 cos    t−   x ,        (4.20)
                                                    2     2 
è åå ðàñïðåäåëåíèå íà ðèñ. 4.6 èçîáðàæåíî ïóíêòèðîì â âèäå ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ
âäîëü õ îãèáàþùåé âîëíû îñíîâíîé ÷àñòîòû ω0 . Òî÷êà R íà âåðøèíå ýòîé îãèáàþùåé
áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ, îòëè÷àþùåéñÿ îò ñ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ êîîðäèíàòû x R
ýòîé òî÷êè, êàê ýòî ñëåäóåò èç (4.20), ìîæåì çàïèñàòü óñëîâèå
                                  ∆ω     ∆k
                                      t−    x R = const.                          (4.21)
                                   2      2
          Çà âðåìÿ dt îíà ñìåñòèòñÿ íà ðàññòîÿíèå dx R , êîòîðîå íàõîäèòñÿ èç ðàâåíñòâà:
                                           ∆ω      ∆k
                                              dt −    dx R = 0.                                        (4.22)
                                            2      2