ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
71
Ëåêöèÿ 4
Âîëíîâîå óðàâíåíèå. Óðàâíåíèå áåãóùåé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â îäíîðîäíîì
øíóðå, ãäå äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò
)(
0
kc=ω
, ïî àíàëîãèè ñ (4.16) èìååò âèä:
.sin)sin(),(
0
00
ω=ω=
c
x
tsxtstxs mm k
(4.25)
Çíàê «» ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, áåãóùåé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ïî îñè Ox, à çíàê
«+» â îòðèöàòåëüíîì.
 áîëåå îáùåì ñëó÷àå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî èìïóëüñà (ãðóïïû âîëí),
äâèãàþùåãîñÿ ñ òîé æå ñêîðîñòüþ
0
c
, óðàâíåíèå âîëíû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
=
0
),(
c
x
tstxs m
, (4.26)
ãäå
)(θs
ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ñâîåãî àðãóìåíòà
0
/
cxt m=θ
.
Ïîêàæåì, ÷òî çàêîí äâèæåíèÿ øíóðà (4.26) è, êîíå÷íî, åãî ÷àñòíûé ñëó÷àé (4.25)
ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè íåêîòîðîãî óðàâíå-
íèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ âîëíî-
âûì óðàâíåíèåì. Ýòî âîëíîâîå óðàâíåíèå
ìîæíî ïîëó÷èòü ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì èç
óðàâíåíèÿ (3.47).
Íà ðèñ. 4.8 ïîêàçàí ôðàãìåíò êî-
ëåáëþùåãîñÿ øíóðà. Íà ýòîì ôðàãìåí-
òå èçîáðàæåíû òðè îòðåçêà øíóðà äëè-
íîé
x∆
è ìàññîé dm êàæäûé. Ñìåùåíèÿ ýòèõ îòðåçêîâ â íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè ðàâíû
),,(
1
txxss
n
∆−=
−
),,( txss
n
= ).,(
1
txxss
n
∆+=
+
Óñêîðåíèå öåíò-
ðàëüíîãî îòðåçêà
2
2
),(
t
txs
s
n
∂
∂
=
&&
. Îíî çàïèñàíî â âèäå âòîðîé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóí-
êöèè s(x,t) ïî âðåìåíè. Ó÷òåì äàëåå, ÷òî
.
),(),(
limlim
2
d
0
1
0
x
x
x
nn
a
x
s
x
txstxxs
a
ss
+
→∆
+
→
∂
∂
=
∆
−∆+
=
−
(4.27à)
.
),(),(
limlim
2
d
0
1
0
x
x
x
nn
a
x
s
x
txxstxs
a
ss
−
→∆
−
→
∂
∂
=
∆
∆−−
=
−
(4.27á)
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ñèëà
2/dxx
x
s
F
+
∂
∂
⋅
ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íà íàïðàâëåíèå
ñìåùåíèÿ s ñèëû F, ïðèëîæåííîé ê öåíòðàëüíîìó ýëåìåíòó ñïðàâà (â òî÷êå
2/dxx +
).
Àíàëîãè÷íî, ñëåâà (â òî÷êå
2/dxx −
) ïðîåêöèÿ ýòîé ñèëû ðàâíà
2/dxx
x
s
F
−
∂
∂
⋅−
. Ðàâíî-
äåéñòâóþùàÿ ýòèõ ñèë, î÷åâèäíî, îïðåäåëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì ïåðâîé ïðîèçâîäíîé íà
äëèíå áåñêîíå÷íî ìàëîãî ýëåìåíòà dx:
.
d
2/d2/d
2
2
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−+
xxxx
x
s
x
s
m
F
t
s
(4.28)
Ðèñ. 4.8.
0 x
sxt(, )
0
dm
s
n 1
s
n
s
n +1
x x
D
x
xx
+
D
Ëåêöèÿ 4 71
Âîëíîâîå óðàâíåíèå. Óðàâíåíèå áåãóùåé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â îäíîðîäíîì
øíóðå, ãäå äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò (ω = c 0 k ) , ïî àíàëîãèè ñ (4.16) èìååò âèä:
x
s ( x, t ) = s 0 sin(ωt m kx ) = s 0 sin ω t m . (4.25)
c 0
Çíàê «» ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, áåãóùåé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ïî îñè Ox, à çíàê
«+» â îòðèöàòåëüíîì.
 áîëåå îáùåì ñëó÷àå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî èìïóëüñà (ãðóïïû âîëí),
äâèãàþùåãîñÿ ñ òîé æå ñêîðîñòüþ c 0 , óðàâíåíèå âîëíû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
x
s ( x, t ) = s t m , (4.26)
c0
ãäå s (θ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ñâîåãî àðãóìåíòà θ = t m x / c0 .
Ïîêàæåì, ÷òî çàêîí äâèæåíèÿ øíóðà (4.26) è, êîíå÷íî, åãî ÷àñòíûé ñëó÷àé (4.25)
ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè íåêîòîðîãî óðàâíå- s(x,t0)
dm
íèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ âîëíî-
âûì óðàâíåíèåì. Ýòî âîëíîâîå óðàâíåíèå
ìîæíî ïîëó÷èòü ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì èç sn 1 sn sn +1
óðàâíåíèÿ (3.47).
Íà ðèñ. 4.8 ïîêàçàí ôðàãìåíò êî-
ëåáëþùåãîñÿ øíóðà. Íà ýòîì ôðàãìåí- 0 x Dx x x + Dx x
òå èçîáðàæåíû òðè îòðåçêà øíóðà äëè- Ðèñ. 4.8.
íîé ∆x è ìàññîé dm êàæäûé. Ñìåùåíèÿ ýòèõ îòðåçêîâ â íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè ðàâíû s n−1 = s ( x − ∆x, t ), s n = s ( x, t ), s n +1 = s ( x + ∆x, t ). Óñêîðåíèå öåíò-
∂ 2 s ( x, t )
ðàëüíîãî îòðåçêà &s&n = . Îíî çàïèñàíî â âèäå âòîðîé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóí-
∂t 2
êöèè s(x,t) ïî âðåìåíè. Ó÷òåì äàëåå, ÷òî
s n +1 − s n s ( x + ∆x, t ) − s ( x, t ) ∂s
lim = lim = . (4.27à)
a →0 a ∆x →0 ∆x ∂x x+
dx
2
s n − s n −1 s ( x, t ) − s ( x − ∆x, t ) ∂s
lim = lim = . (4.27á)
a →0 a ∆x → 0 ∆x ∂x x−
dx
2
∂s
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ñèëà F ⋅ ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íà íàïðàâëåíèå
∂x x +dx / 2
ñìåùåíèÿ s ñèëû F, ïðèëîæåííîé ê öåíòðàëüíîìó ýëåìåíòó ñïðàâà (â òî÷êå x + dx / 2 ).
∂s
Àíàëîãè÷íî, ñëåâà (â òî÷êå x − dx / 2 ) ïðîåêöèÿ ýòîé ñèëû ðàâíà − F ⋅ . Ðàâíî-
∂x x −dx / 2
äåéñòâóþùàÿ ýòèõ ñèë, î÷åâèäíî, îïðåäåëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì ïåðâîé ïðîèçâîäíîé íà
äëèíå áåñêîíå÷íî ìàëîãî ýëåìåíòà dx:
∂2s F ∂s ∂s
= − . (4.28)
∂t 2
dm ∂x x + dx / 2 ∂x
x − dx / 2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
