Колебания и волны. Алешкевич В.А - 73 стр.

72                                                          Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Åñëè òåïåðü ó÷åñòü, ÷òî dm = ρ1dx ( ρ1 — ïëîòíîñòü åäèíèöû äëèíû, èëè ëè-
íåéíàÿ ïëîòíîñòü øíóðà), òî (4.28) ïðèìåò âèä âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ:
                                         ∂2s
                                         F ∂2s
                                               =
                                               .                          (4.29)
                                  ∂t 2 ρ1 ∂x 2
        Ýòî âîëíîâîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì âòîðîãî çàêîíà
Íüþòîíà, â êîòîðîì óñêîðåíèå åäèíèöû äëèíû øíóðà è äåéñòâóþùàÿ íà íåãî ñèëà çàïè-
ñàíû â âèäå âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñìåùåíèÿ s ïî âðåìåíè è êîîðäèíàòå ñîîòâåò-
ñòâåííî. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèåì ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Åãî ðåøåíèå õîðîøî èçâåñòíî:
èì ìîæåò áûòü ëþáàÿ ôóíêöèÿ s(θ), àðãóìåíò êîòîðîé «ñêîíñòðóèðîâàí» â âèäå (4.26), à
               F
ñêîðîñòü c0 =    . Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ. Äëÿ ýòîãî âû÷èñ-
              ρ1
ëèì âòîðûå ïðîèçâîäíûå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè ñî
                            x
ñëîæíûì àðãóìåíòîì θ = t m :
                           c0
                   ∂s ds ∂θ ds ∂s ds ∂θ ds  1 
                     =  ⋅  =  ;  =  ⋅  =  ⋅  m ;                           (4.30)
                   ∂t dθ ∂t dθ ∂x dθ ∂x dθ  c 0 
                                                        2
                         ∂2s       d2s       ∂2s
                                           d2s  1 
                               =         ;      ⋅m  .
                                                   =                          (4.31)
                         ∂t 2
                              dθ 2
                                    ∂x 2
                                           dθ 2  c 0 
        Ïîäñòàâëÿÿ âòîðûå ïðîèçâîäíûå èç (4.31) â (4.29), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðè
       F
c0 =      óðàâíåíèå (4.29) òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåòñÿ, ò.å. ôóíêöèÿ s(θ) äåéñòâè-
      ρ1
òåëüíî ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì.
        Âîëíîâîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ôóíäàìåíòàëüíûõ óðàâíåíèé. Â ðàçíûõ
îáëàñòÿõ ôèçèêè ýòî óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ
çàêîíîâ, îïèñûâàþùèõ ïîâåäåíèå ñèñòåì ðàçëè÷íîé ïðèðîäû (ìåõàíè÷åñêèõ, ýëåêòðî-
ìàãíèòíûõ è äð.).  îáùåì ñëó÷àå îíî îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â òðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå è èìååò áîëåå ñëîæíûé âèä:

                            ∂2s        ∂2s ∂ 2s ∂ 2s 
                               = c 2  2 + 2 + 2 .
                               2
                                                                        (4.32)
                           ∂t          ∂x  ∂y   ∂z 
        Ïîä s ìîæåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ ëþáàÿ êîëåáëþùàÿñÿ âåëè÷èíà: ñìåùåíèå, ñêî-
ðîñòü, ïëîòíîñòü, äàâëåíèå, ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå, íàïðÿæåí-
íîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî è èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëåé è äð.
         Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî åñëè íàì óäàåòñÿ ïîëó÷èòü âîëíîâîå óðàâíåíèå (âûâå-
ñòè åãî) äëÿ êàêîãî-ëèáî ïðîöåññà, òî ñòîÿùèé ïåðåä âòîðûìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïðî-
èçâîäíûìè ìíîæèòåëü ñðàçó îïðåäåëÿåò êâàäðàò ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå
áåç äèñïåðñèè. Ýòèì ïðèåìîì ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðà-
íåíèÿ âîëí ðàçëè÷íîé ïðèðîäû. Íèæå ìû òîæå òàê ïîñòóïèì, êîãäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü
âîëíû â òâåðäûõ òåëàõ, æèäêîñòÿõ è ãàçàõ.