Колебания и волны. Алешкевич В.А - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
74
ñòàíîâèòñÿ ïðÿìûì. Îäíàêî ÷àñòü øíóðà äëèíîé cτ
è
/ 2 ïðîäîëæàåò äâèãàòüñÿ âíèç ïî èíåð-
öèè. Ïðè t >τ
è
/ 2 øíóð òÿíåò êðîíøòåéí âíèç, è ýòî äåéñòâèå ïðåêðàùàåòñÿ ïðè
è
τ=t .
Åñòåñòâåííî, ÷òî êðîíøòåéí âîçäåéñòâóåò íà êîíåö øíóðà ñ ñèëîé, íàïðàâëåííîé ââåðõ,
òîðìîçÿ äâèæåíèå åãî ýëåìåíòîâ âíèç. Îêîí÷àòåëüíî ïîïåðå÷íîå äåéñòâèå øíóðà íà êðîí-
øòåéí ïðåêðàòèòñÿ ïðè
è
τ>t
, êîãäà ñôîðìèðóåòñÿ îòðàæåííûé èìïóëüñ, èìåþùèé ïðîòè-
âîïîëîæíóþ (ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùåìó) ïîëÿðíîñòü.
Åñëè ïî øíóðó áåæèò ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà, òî ïî äîñòèæåíèè çàêðåïëåííîãî êîíöà
øíóðà âîçíèêàåò îáðàùåííàÿ îòðàæåííàÿ âîëíà. ×òîáû ó÷åñòü èçìåíåíèå åå ïîëÿðíîñòè, â
àðãóìåíò óðàâíåíèÿ îòðàæåííîé âîëíû äîáàâëÿþò ôàçîâûé ñäâèã ϕ
îòð
= π. Ïîýòîìó ãîâîðÿò,
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðè îòðàæåíèè ôàçà âîëíû ñêà÷êîì ìåíÿåòñÿ íà π, èëè «òåðÿåòñÿ ïîëâîë-
íû».  îáùåì ñëó÷àå ïðè ïðîèçâîëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ñäâèã ôàçû ϕ
îòð
ìîæåò ìåíÿòü-
ñÿ â èíòåðâàëå 0 ≤ ϕ
îòð
≤ π. Ïîÿñíèì ñêàçàííîå ïðîñòåéøèì ðàñ÷åòîì.
Ïóñòü ïî øíóðó áåæèò ãàðìîíè÷åñ-
êàÿ âîëíà. Äîñòèãíóâ êîíöà øíóðà
ïðè
l=x
, îíà áóäåò îòðàæàòüñÿ (ðèñ. 4.10).
Ñìåùåíèå ëþáîãî ó÷àñòêà, èìåþùåãî êî-
îðäèíàòó
l≤x
, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóïåðïî-
çèöèÿ áåãóùåé è îòðàæåííîé âîëí:
].)2sin[)sin(),(
îòð00
ϕ+−−ω+−ω=
xtsxtstxs
l
k(k
(4.33)
 (4.33) ó÷òåíî, ÷òî îòðàæåííàÿ âîëíà, âî-ïåðâûõ, ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå «òóäà è
îáðàòíî», ðàâíîå l+(lx)=2lx, è, âî-âòîðûõ, ïðèîáðåòàåò ñäâèã ôàçû ϕ
îòð
ïðè åå
îòðàæåíèè. Ïðîâåäåì ñóììèðîâàíèå â (4.33) è ïîëó÷èì:
.
2
sin
2
)cos2),(
îòðîòð
0
ϕ
+−ω
ϕ
+−= ll kk( txstxs
(4.34)
Ïîëàãàåì, ÷òî àìïëèòóäà âîëíû
0
s
îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè
è íå ìåíÿåòñÿ ïðè îòðàæåíèè.
Ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ñòîÿ÷åé âîëíû. Îñíîâíûå åå õàðàêòåðèñ-
òèêè ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê ñëåäóþùèì:
1.  ñòîÿ÷åé âîëíå âñå ó÷àñòêè øíóðà êîëåáëþòñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé
ω
è â
ôàçå, îäíàêî àìïëèòóäà ýòèõ êîëåáàíèé ìåíÿåòñÿ âäîëü øíóðà, ò.å. ñòîÿ÷àÿ âîëíà ÿâëÿåò-
ñÿ ìîäîé êîëåáàíèé.
2. Àìïëèòóäà êîëåáàíèé â ñòîÿ÷åé âîëíå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.34) ðàâíîé:
.
2
)(cos2)(
îòð
0
ϕ
+−= xsxA lk
(4.35)
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî íåêîòîðûå ó÷àñòêè øíóðà êîëåáëþòñÿ ñ àìïëè-
òóäîé, ðàâíîé
0
2
s
. Ýòî òàê íàçûâàåìûå «ïó÷íîñòè» ñòîÿ÷åé âîëíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ñóùåñòâóþò ó÷àñòêè, êîòîðûå îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, ò.ê. äëÿ íèõ àìïëèòóäà À = 0.
Ýòî òàê íàçûâàåìûå «óçëû» ñòîÿ÷åé âîëíû.
Ðèñ. 4.10.
c
0
c
0
l
x
s
0
l/2
74                                                                      Êîëåáàíèÿ è âîëíû

ñòàíîâèòñÿ ïðÿìûì. Îäíàêî ÷àñòü øíóðà äëèíîé cτè / 2 ïðîäîëæàåò äâèãàòüñÿ âíèç ïî èíåð-
öèè. Ïðè t > τè / 2 øíóð òÿíåò êðîíøòåéí âíèç, è ýòî äåéñòâèå ïðåêðàùàåòñÿ ïðè t = τ è .
Åñòåñòâåííî, ÷òî êðîíøòåéí âîçäåéñòâóåò íà êîíåö øíóðà ñ ñèëîé, íàïðàâëåííîé ââåðõ,
òîðìîçÿ äâèæåíèå åãî ýëåìåíòîâ âíèç. Îêîí÷àòåëüíî ïîïåðå÷íîå äåéñòâèå øíóðà íà êðîí-
øòåéí ïðåêðàòèòñÿ ïðè t > τ è , êîãäà ñôîðìèðóåòñÿ îòðàæåííûé èìïóëüñ, èìåþùèé ïðîòè-
âîïîëîæíóþ (ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùåìó) ïîëÿðíîñòü.
       Åñëè ïî øíóðó áåæèò ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà, òî ïî äîñòèæåíèè çàêðåïëåííîãî êîíöà
øíóðà âîçíèêàåò îáðàùåííàÿ îòðàæåííàÿ âîëíà. ×òîáû ó÷åñòü èçìåíåíèå åå ïîëÿðíîñòè, â
àðãóìåíò óðàâíåíèÿ îòðàæåííîé âîëíû äîáàâëÿþò ôàçîâûé ñäâèã ϕîòð = π. Ïîýòîìó ãîâîðÿò,
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðè îòðàæåíèè ôàçà âîëíû ñêà÷êîì ìåíÿåòñÿ íà π, èëè «òåðÿåòñÿ ïîëâîë-
íû».  îáùåì ñëó÷àå ïðè ïðîèçâîëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ñäâèã ôàçû ϕîòð ìîæåò ìåíÿòü-
ñÿ â èíòåðâàëå 0 ≤ ϕîòð ≤ π. Ïîÿñíèì ñêàçàííîå ïðîñòåéøèì ðàñ÷åòîì.
 s                                                    Ïóñòü ïî øíóðó áåæèò ãàðìîíè÷åñ-
                              l/2
                 c0      c0
                                                    êàÿ âîëíà. Äîñòèãíóâ êîíöà øíóðà
                                                    ïðè x = l , îíà áóäåò îòðàæàòüñÿ (ðèñ. 4.10).
 0                                             x    Ñìåùåíèå ëþáîãî ó÷àñòêà, èìåþùåãî êî-
                              l                     îðäèíàòó x ≤ l , îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóïåðïî-
              Ðèñ. 4.10.                            çèöèÿ áåãóùåé è îòðàæåííîé âîëí:

                  s ( x, t ) = s 0 sin(ωt − kx) + s 0 sin[ωt − k( 2l − x) + ϕ îòð ].    (4.33)
       Â (4.33) ó÷òåíî, ÷òî îòðàæåííàÿ âîëíà, âî-ïåðâûõ, ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå «òóäà è
îáðàòíî», ðàâíîå l + (l – x) = 2l – x, è, âî-âòîðûõ, ïðèîáðåòàåò ñäâèã ôàçû ϕîòð ïðè åå
îòðàæåíèè. Ïðîâåäåì ñóììèðîâàíèå â (4.33) è ïîëó÷èì:

                                                     ϕ îòð                ϕ îòð 
                                                                                      (4.34)
                 s ( x, t ) = 2 s 0 cos k( l − x ) +        sin ωt − kl +       .
                                                       2                    2   
        Ïîëàãàåì, ÷òî àìïëèòóäà âîëíû s 0 îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè
è íå ìåíÿåòñÿ ïðè îòðàæåíèè.
        Ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ñòîÿ÷åé âîëíû. Îñíîâíûå åå õàðàêòåðèñ-
òèêè ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê ñëåäóþùèì:
        1.  ñòîÿ÷åé âîëíå âñå ó÷àñòêè øíóðà êîëåáëþòñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé ω è â
ôàçå, îäíàêî àìïëèòóäà ýòèõ êîëåáàíèé ìåíÿåòñÿ âäîëü øíóðà, ò.å. ñòîÿ÷àÿ âîëíà ÿâëÿåò-
ñÿ ìîäîé êîëåáàíèé.
        2. Àìïëèòóäà êîëåáàíèé â ñòîÿ÷åé âîëíå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.34) ðàâíîé:
                                                              ϕ îòð 
                              A( x ) = 2 s 0 cos k (l − x ) +       .       (4.35)
                                                                2 
        Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî íåêîòîðûå ó÷àñòêè øíóðà êîëåáëþòñÿ ñ àìïëè-
òóäîé, ðàâíîé 2s 0 . Ýòî òàê íàçûâàåìûå «ïó÷íîñòè» ñòîÿ÷åé âîëíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ñóùåñòâóþò ó÷àñòêè, êîòîðûå îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, ò.ê. äëÿ íèõ àìïëèòóäà À = 0.
Ýòî òàê íàçûâàåìûå «óçëû» ñòîÿ÷åé âîëíû.

Страницы