Колебания и волны. Алешкевич В.А - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

75
Ëåêöèÿ 4
Íà ðèñ 4.11 èçîáðàæåíû
ñìåùåíèÿ ôðàãìåíòà ñòðóíû äëÿ
òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìîìåíòîâ
âðåìåíè
21
,
tt
è
3
t
. Íåòðóäíî ïîêà-
çàòü, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ñî-
ñåäíèìè óçëàìè, óêàçàííûìè òî÷êà-
ìè, ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ïó÷íîñòÿìè, îòìå÷åííûìè êðåñòèêàìè,
è ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó
.
2
λ
=
π
=∆
k
x
3. Âñå ÷àñòè øíóðà, ëåæàùèå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè óçëàìè, ñîâåðøàþò êîëå-
áàíèÿ â ôàçå. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç óçåë ôàçà êîëåáàíèé ñêà÷êîì èçìåíÿåòñÿ íà π, ÷òî
ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ çíàêà
)(xÀ
.
4. Íà êîíöå øíóðà (x=l) àìïëèòóäà
2
cos2)(
îòð
0
ϕ
= sA l
. (4.36)
Äëÿ çàêðåïëåííîãî êîíöà øíóðà
0)( =lÀ
è
π=ϕ
îòð
. Íà ðèñ. 4.10 ïîêàçàí ó÷àñòîê
â ïîëâîëíû, êîòîðûé «òåðÿåòñÿ» ïðè òàêîì îòðàæåíèè. Ðàñïîëîæåííàÿ ïðàâåå ýòîãî ó÷àñòêà
÷àñòü âîëíû, èçîáðàæåííàÿ ïóíêòèðîì â îáëàñòè
l>x
, ïîñëå ïîâîðîòà íàïðàâëåíèÿ ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ êàê ðàç è áóäåò ÿâëÿòüñÿ âîëíîé, îòðàæåííîé â çàêðåïëåííîé òî÷êå
l=x
.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê îòðàæåíèþ âîëíû îò ñâîáîäíîãî êîíöà øíóðà. Òåõíè÷åñêè
ýòî ìîæíî ðåàëèçîâàòü, åñëè êîíåö øíóðà ïðèâÿçàòü ê òîíêîé è ëåãêîé íèòè, êîòîðàÿ
ñëóæèò ëèøü äëÿ ñîçäàíèÿ íàòÿæåíèÿ øíóðà ñ ñèëîé F.
Ïðîöåññ îòðàæåíèÿ òðåóãîëüíîãî èìïóëüñà îò ñâîáîäíîãî êîíöà øíóðà ïîêàçàí
íà ðèñ. 4.12. Îáðàùàþò íà ñåáÿ âíèìàíèå äâà îáñòîÿòåëüñòâà:
1. Îòðàæåííûé èìïóëüñ ñîõðàíÿåò òó æå ïîëÿðíîñòü, ÷òî è ïàäàþùèé. Ýòî ñâÿ-
çàíî ñ òåì, ÷òî ïðè äâèæåíèè ñâîáîäíûé êîíåö áóäåò òÿíóòü ââåðõ ïðèëåãàþùèå ê íåìó
ñëåâà ó÷àñòêè øíóðà, è, â ðåçóëüòàòå, áóäåò âîçáóæäåí îòðàæåííûé èìïóëüñ, â êîòîðîì
ýëåìåíòû øíóðà òàêæå ñìåùåíû ââåðõ.  ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû îòðàæåííàÿ âîë-
íà íàõîäèòñÿ â ôàçå ñ ïàäàþùåé. Îáðàçóþùàÿñÿ ñòîÿ÷àÿ âîëíà áóäåò îïèñûâàòüñÿ óðàâ-
íåíèåì (4.34), â êîòîðîì
0
îòð
=ϕ
.
2. Êîíåö øíóðà ñîâåðøàåò «âçìàõ», âåëè÷èíà êîòîðîãî âäâîå ïðåâûøàåò àìïëèòóäó
èìïóëüñà â åãî ñåðåäèíå. Äëÿ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû íà êîíöå øíóðà
)( l=x
îáðàçóåòñÿ ïó÷-
íîñòü ñòîÿ÷åé âîëíû. Ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (4.36), â êîòîðîé ñëåäóåò ïîëîæèòü
0
îòð
=ϕ
.
Âîçáóæäåíèå ñòîÿ÷èõ âîëí â øíóðå. Ìîäû êîëåáàíèé. Ïóñòü êðîíøòåéí, ê
êîòîðîìó ïðèâÿçàí ëåâûé êîíåö øíóðà, ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
tts ωξ= sin)(
0
, ãäå
0
ξ  î÷åíü ìàëàÿ àìïëèòóäà. Ïîýòîìó ëåâûé êîíåö øíóðà ìîæíî
ñ÷èòàòü çàêðåïëåííûì. Ïî øíóðó ïîáåæèò ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà (ðèñ. 4.13), êîòîðàÿ ïîñëå
îòðàæåíèÿ îò ïðàâîãî çàêðåïëåííîãî êîíöà ïðèîáðåòåò ñäâèã ôàçû, ðàâíûé π. Äîáåæàâ
äî ëåâîãî êîíöà, îíà åùå ðàç îòðàçèòñÿ, à ñäâèã ôàçû ñòàíåò ðàâíûì 2π.
Ðèñ. 4.11.
x
s
D
x
t
1
t
3
t
2
0
Ëåêöèÿ 4                                                                              75
        Íà ðèñ 4.11 èçîáðàæåíû            s
ñìåùåíèÿ ôðàãìåíòà ñòðóíû äëÿ                                   Dx           t1
òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìîìåíòîâ
âðåìåíè t1 , t2 è t3 . Íåòðóäíî ïîêà-     0                                              x
                                                                       t2    t3
çàòü, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ñî-
                                                              Ðèñ. 4.11.
ñåäíèìè óçëàìè, óêàçàííûìè òî÷êà-
ìè, ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ïó÷íîñòÿìè, îòìå÷åííûìè êðåñòèêàìè,
                             π λ
è ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó ∆x = = .
                             k 2
        3. Âñå ÷àñòè øíóðà, ëåæàùèå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè óçëàìè, ñîâåðøàþò êîëå-
áàíèÿ â ôàçå. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç óçåë ôàçà êîëåáàíèé ñêà÷êîì èçìåíÿåòñÿ íà π, ÷òî
ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ çíàêà À(x ) .
        4. Íà êîíöå øíóðà (x = l) àìïëèòóäà
                                                      ϕ îòð
                                   A(l) = 2 s 0 cos .                              (4.36)
                                                2
        Äëÿ çàêðåïëåííîãî êîíöà øíóðà À(l) = 0 è ϕ îòð = π . Íà ðèñ. 4.10 ïîêàçàí ó÷àñòîê
â ïîëâîëíû, êîòîðûé «òåðÿåòñÿ» ïðè òàêîì îòðàæåíèè. Ðàñïîëîæåííàÿ ïðàâåå ýòîãî ó÷àñòêà
÷àñòü âîëíû, èçîáðàæåííàÿ ïóíêòèðîì â îáëàñòè x > l , ïîñëå ïîâîðîòà íàïðàâëåíèÿ ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ êàê ðàç è áóäåò ÿâëÿòüñÿ âîëíîé, îòðàæåííîé â çàêðåïëåííîé òî÷êå x = l .
        Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê îòðàæåíèþ âîëíû îò ñâîáîäíîãî êîíöà øíóðà. Òåõíè÷åñêè
ýòî ìîæíî ðåàëèçîâàòü, åñëè êîíåö øíóðà ïðèâÿçàòü ê òîíêîé è ëåãêîé íèòè, êîòîðàÿ
ñëóæèò ëèøü äëÿ ñîçäàíèÿ íàòÿæåíèÿ øíóðà ñ ñèëîé F.
        Ïðîöåññ îòðàæåíèÿ òðåóãîëüíîãî èìïóëüñà îò ñâîáîäíîãî êîíöà øíóðà ïîêàçàí
íà ðèñ. 4.12. Îáðàùàþò íà ñåáÿ âíèìàíèå äâà îáñòîÿòåëüñòâà:
        1. Îòðàæåííûé èìïóëüñ ñîõðàíÿåò òó æå ïîëÿðíîñòü, ÷òî è ïàäàþùèé. Ýòî ñâÿ-
çàíî ñ òåì, ÷òî ïðè äâèæåíèè ñâîáîäíûé êîíåö áóäåò òÿíóòü ââåðõ ïðèëåãàþùèå ê íåìó
ñëåâà ó÷àñòêè øíóðà, è, â ðåçóëüòàòå, áóäåò âîçáóæäåí îòðàæåííûé èìïóëüñ, â êîòîðîì
ýëåìåíòû øíóðà òàêæå ñìåùåíû ââåðõ.  ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû îòðàæåííàÿ âîë-
íà íàõîäèòñÿ â ôàçå ñ ïàäàþùåé. Îáðàçóþùàÿñÿ ñòîÿ÷àÿ âîëíà áóäåò îïèñûâàòüñÿ óðàâ-
íåíèåì (4.34), â êîòîðîì ϕ îòð = 0 .
        2. Êîíåö øíóðà ñîâåðøàåò «âçìàõ», âåëè÷èíà êîòîðîãî âäâîå ïðåâûøàåò àìïëèòóäó
èìïóëüñà â åãî ñåðåäèíå. Äëÿ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû íà êîíöå øíóðà ( x = l) îáðàçóåòñÿ ïó÷-
íîñòü ñòîÿ÷åé âîëíû. Ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (4.36), â êîòîðîé ñëåäóåò ïîëîæèòü ϕ îòð = 0 .


       Âîçáóæäåíèå ñòîÿ÷èõ âîëí â øíóðå. Ìîäû êîëåáàíèé. Ïóñòü êðîíøòåéí, ê
êîòîðîìó ïðèâÿçàí ëåâûé êîíåö øíóðà, ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
s (t ) = ξ 0 sin ωt , ãäå ξ 0 — î÷åíü ìàëàÿ àìïëèòóäà. Ïîýòîìó ëåâûé êîíåö øíóðà ìîæíî
ñ÷èòàòü çàêðåïëåííûì. Ïî øíóðó ïîáåæèò ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà (ðèñ. 4.13), êîòîðàÿ ïîñëå
îòðàæåíèÿ îò ïðàâîãî çàêðåïëåííîãî êîíöà ïðèîáðåòåò ñäâèã ôàçû, ðàâíûé π. Äîáåæàâ
äî ëåâîãî êîíöà, îíà åùå ðàç îòðàçèòñÿ, à ñäâèã ôàçû ñòàíåò ðàâíûì 2π.

Страницы