Колебания и волны. Алешкевич В.А - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

77
Ëåêöèÿ 4
ñî ñêîðîñòüþ
0
ñ
èìïóëüñîâ ðàçíîé ïîëÿðíîñòè, òî ìû ïðîñëåäèì çà óñèëåíèåì ëþáîãî èç
íèõ (íàïðèìåð, çàøòðèõîâàííîãî íà ðèñ. 4.13). Âðåìÿ äâèæåíèÿ èìïóëüñà (äëÿ îïðåäåëåííî-
ñòè òî÷êè À â åãî íà÷àëå) ïî øíóðó òóäà è îáðàòíî ðàâíî
0
/2
ct l=∆
. Ó÷òåì äàëåå, ÷òî ïîñëå
äâóõ îòðàæåíèé ýòîò èìïóëüñ äâà ðàçà îáðàòèòñÿ. Äëÿ åãî óñèëåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ìî-
ìåíò t=∆t ëåâûé êîíåö øíóðà ïðîõîäèë ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ è äâèãàëñÿ ïðè ýòîì ââåðõ:
.)cos()(
,0)sin()(
00
0
ωξ+=∆ωωξ=∆
=∆ωξ=∆
tts
tts
&
(4.37)
Ïîýòîìó ÷àñòîòà
ω
äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
,2 pt
p
π=∆ω
(4.38)
ãäå p=I, II, III, ... .
Îòñþäà
.
0
p
c
p
l
π
=ω
(4.39)
Êîíôèãóðàöèþ êîëåáëþùåéñÿ ñòðóíû íà ÷àñòîòàõ (4.39) ìîæíî ëåãêî íàðèñîâàòü,
êîãäà àìïëèòóäû áåãóùåé è îòðàæåííîé
âîëí íå ìåíÿþòñÿ âäîëü øíóðà è ðàâíû ìåæ-
äó ñîáîé. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî áóäóò ñòîÿ÷èå
âîëíû, ðàññìîòðåííûå íàìè âûøå è ñîîò-
âåòñòâóþùèå îäèíàêîâûì ãðàíè÷íûì óñëî-
âèÿì: íà îáîèõ êîíöàõ øíóðà äîëæíû áûòü
óçëû ñìåùåíèÿ.
Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 4.14 èçîáðà-
æåíû òðè âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè øíó-
ðà â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ñìåùåíèÿ ýëå-
ìåíòîâ øíóðà ìàêñèìàëüíû. Êîëåáàíèÿ,
ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì êîíôèãóðàöèÿì, ÿâ-
ëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè êîëåáàíèÿìè (ìîäà-
ìè), à ÷àñòîòû ω
I
, ω
II
, ω
III
 íîðìàëüíûìè
÷àñòîòàìè. Åñëè äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû ïðåêðàòèòñÿ, òî ýòè êîëåáàíèÿ áóäóò ïðîäîëæàòü-
ñÿ êàê ñîáñòâåííûå, ïîêà íå çàòóõíóò.
Óñëîâèå (4.39) ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå íàãëÿäíîì âèäå, åñëè ïåðåéòè îò
÷àñòîòû
p
ω
ê äëèíå âîëíû
pp
c
ωπ=λ
/2
0
:
2
p
p
λ
=l
. (4.40)
Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íîðìàëüíûõ êîëåáàíèÿõ íà äëèíå øíóðà äîëæíî óêëàäû-
âàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí. Ëåãêî òåïåðü âèäåòü, ÷òî êàæäàÿ èç ìîä ìîæåò áûòü âîç-
áóæäåíà, åñëè ïðèêëàäûâàòü ñèëó íóæíîé ÷àñòîòû ê ëþáîìó ó÷àñòêó øíóðà, çà èñêëþ÷å-
íèåì òåõ, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ óçëàìè äàííîé ìîäû.
Ðèñ. 4.14.
w
I
w
II
w
III
l
I
2
l
II
2
l
III
2
Ëåêöèÿ 4                                                                                77
ñî ñêîðîñòüþ ñ 0 èìïóëüñîâ ðàçíîé ïîëÿðíîñòè, òî ìû ïðîñëåäèì çà óñèëåíèåì ëþáîãî èç
íèõ (íàïðèìåð, çàøòðèõîâàííîãî íà ðèñ. 4.13). Âðåìÿ äâèæåíèÿ èìïóëüñà (äëÿ îïðåäåëåííî-
ñòè òî÷êè À â åãî íà÷àëå) ïî øíóðó òóäà è îáðàòíî ðàâíî ∆t = 2l / c0 . Ó÷òåì äàëåå, ÷òî ïîñëå
äâóõ îòðàæåíèé ýòîò èìïóëüñ äâà ðàçà îáðàòèòñÿ. Äëÿ åãî óñèëåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ìî-
ìåíò t = ∆t ëåâûé êîíåö øíóðà ïðîõîäèë ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ è äâèãàëñÿ ïðè ýòîì ââåðõ:
                              s ( ∆t ) =ξ 0 sin(ω∆t ) = 0,
                                                                                      (4.37)
                              s&( ∆t ) = ξ 0 ω cos(ω∆t ) = +ξ 0 ω.
           Ïîýòîìó ÷àñòîòà ω äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
                                         ω p ∆t = 2πp,                                (4.38)

ãäå p = I, II, III, ... .
         Îòñþäà

                                                πc 0
                                         ωp =        p.                               (4.39)
                                                 l
         Êîíôèãóðàöèþ êîëåáëþùåéñÿ ñòðóíû íà ÷àñòîòàõ (4.39) ìîæíî ëåãêî íàðèñîâàòü,
êîãäà àìïëèòóäû áåãóùåé è îòðàæåííîé
                                                                                 wI
âîëí íå ìåíÿþòñÿ âäîëü øíóðà è ðàâíû ìåæ-
                                                            lI
äó ñîáîé. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî áóäóò ñòîÿ÷èå
                                                            2
âîëíû, ðàññìîòðåííûå íàìè âûøå è ñîîò-
âåòñòâóþùèå îäèíàêîâûì ãðàíè÷íûì óñëî-
âèÿì: íà îáîèõ êîíöàõ øíóðà äîëæíû áûòü                                          wII
óçëû ñìåùåíèÿ.
         Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 4.14 èçîáðà-         lII
                                                   2
æåíû òðè âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè øíó-
ðà â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ñìåùåíèÿ ýëå-
                                                                                         wIII
ìåíòîâ øíóðà ìàêñèìàëüíû. Êîëåáàíèÿ,
                                                          lIII
ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì êîíôèãóðàöèÿì, ÿâ-
                                                           2
ëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè êîëåáàíèÿìè (ìîäà-                                Ðèñ. 4.14.
ìè), à ÷àñòîòû ωI, ωII, ωIII — íîðìàëüíûìè
÷àñòîòàìè. Åñëè äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû ïðåêðàòèòñÿ, òî ýòè êîëåáàíèÿ áóäóò ïðîäîëæàòü-
ñÿ êàê ñîáñòâåííûå, ïîêà íå çàòóõíóò.
         Óñëîâèå (4.39) ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå íàãëÿäíîì âèäå, åñëè ïåðåéòè îò
÷àñòîòû ω p ê äëèíå âîëíû λ p = 2πc0 / ω p :
                                                  λp
                                           l= p
                                             .                             (4.40)
                                           2
Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íîðìàëüíûõ êîëåáàíèÿõ íà äëèíå øíóðà äîëæíî óêëàäû-
âàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí. Ëåãêî òåïåðü âèäåòü, ÷òî êàæäàÿ èç ìîä ìîæåò áûòü âîç-
áóæäåíà, åñëè ïðèêëàäûâàòü ñèëó íóæíîé ÷àñòîòû ê ëþáîìó ó÷àñòêó øíóðà, çà èñêëþ÷å-
íèåì òåõ, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ óçëàìè äàííîé ìîäû.

Страницы