Колебания и волны. Алешкевич В.А - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

79
Ëåêöèÿ 4
òåëüíî ìåíüøå àìïëèòóäû êîëåáàíèé
â ïó÷íîñòÿõ, ïîýòîìó íåçíà÷èòåëüíî
âèáðèðóþùèé êîíåö øíóðà ìîæåò ðàñ-
ñìàòðèâàòüñÿ, êàê íåïîäâèæíûé.
Âîëíû â óïðóãèõ òåëàõ. Êàê
ìû âèäåëè, ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæ-
äó ñîñåäíèìè êîëåáëþùèìèñÿ ýëåìåí-
òàìè øíóðà îáåñïå÷èâàþò ðàñïðîñòðà-
íåíèå â íåì âîëí. Â óïðóãèõ òåëàõ òàêèå
ñèëû ñâîäÿòñÿ ê êàñàòåëüíûì è íîðìàëü-
íûì íàïðÿæåíèÿì, âîçíèêàþùèì ïðè
äåôîðìàöèÿõ ñäâèãà è ðàñòÿæåíèÿ (ñæà-
òèÿ). Ýòèì äåôîðìàöèÿì ñîîòâåòñòâóþò
2 òèïà âîëí: ïîïåðå÷íûå è ïðîäîëüíûå.
Ðàññìîòðèì ýòè âîëíû ïî îòäåëüíîñòè.
Ïîïåðå÷íûå âîëíû. Åñëè ïî ñòåðæíþ, èçãîòîâëåííîìó èç óïðóãîãî ìàòåðèà-
ëà, óäàðèòü ìîëîòêîì â åãî ñðåäíåé ÷àñòè (ðèñ. 4.17), òî ê åãî êîíöàì ïîáåãóò èìïóëüñû,
êàê ýòî èìåëî ìåñòî â øíóðå ñ ãðóçàìè, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 4.1. Îäíàêî ïîïåðå÷íûå
ñìåùåíèÿ ÷àñòèö ñòåðæíÿ áóäóò íåçàìåòíû äëÿ ãëàçà, ïîýòîìó äëÿ ðåãèñòðàöèè áåãó-
ùèõ ïî ñòåðæíþ âîçìóùåíèé òðåáóþòñÿ ñïåöèàëüíûå ìåòîäû.
Ïîñêîëüêó äèñïåðñèÿ âîëí ìåõàíè÷åñêîé ïðèðîäû â ñïëîøíîé ñðåäå îòñóòñòâó-
åò, òî ñêîðîñòü èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.
Íà ðèñ. 4.18 ïîêàçàí ôðàãìåíò êîëåáëþùåãîñÿ ñòåðæíÿ. Íà ñðåäíèé ýëåìåíò
äëèíîé dx äåéñòâóþò êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ (ñëåâà
)(x
τ
σ
è ñïðàâà
)d( xx +σ
τ
), âåëè-
÷èíû êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíû äåôîðìàöèÿì ñäâèãà ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ:
.)d(tg)d(
,)(tg)(
d
xx
x
x
s
GxxGxx
x
s
GxGx
+
τ
τ
∂
∂
=+γ=+σ
∂
∂
=γ=σ
(4.45)
Çäåñü G  ìîäóëü ñäâèãà, γ  óãîë ñäâèãà.
Ðèñ. 4.16.
w
I
w
II
w
III
l
I
4
l
II
4
l
III
4
Ðèñ. 4.17. Ðèñ. 4.18.
0
s
x x
d xx
+d
xx
s
t
(+d)xx
s
t
()x
Ëåêöèÿ 4                                                                                             79
òåëüíî ìåíüøå àìïëèòóäû êîëåáàíèé
â ïó÷íîñòÿõ, ïîýòîìó íåçíà÷èòåëüíî                                                                   wI
âèáðèðóþùèé êîíåö øíóðà ìîæåò ðàñ-                                       lI
ñìàòðèâàòüñÿ, êàê íåïîäâèæíûé.                                           4

         Âîëíû â óïðóãèõ òåëàõ. Êàê
ìû âèäåëè, ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæ-                                                                  wII
äó ñîñåäíèìè êîëåáëþùèìèñÿ ýëåìåí-
òàìè øíóðà îáåñïå÷èâàþò ðàñïðîñòðà-                         lII
                                                            4
íåíèå â íåì âîëí. Â óïðóãèõ òåëàõ òàêèå
ñèëû ñâîäÿòñÿ ê êàñàòåëüíûì è íîðìàëü-
íûì íàïðÿæåíèÿì, âîçíèêàþùèì ïðè
                                                                                                     wIII
äåôîðìàöèÿõ ñäâèãà è ðàñòÿæåíèÿ (ñæà-
                                                      lIII
òèÿ). Ýòèì äåôîðìàöèÿì ñîîòâåòñòâóþò                   4
2 òèïà âîëí: ïîïåðå÷íûå è ïðîäîëüíûå.
                                                                        Ðèñ. 4.16.
Ðàññìîòðèì ýòè âîëíû ïî îòäåëüíîñòè.

         Ïîïåðå÷íûå âîëíû. Åñëè ïî ñòåðæíþ, èçãîòîâëåííîìó èç óïðóãîãî ìàòåðèà-
ëà, óäàðèòü ìîëîòêîì â åãî ñðåäíåé ÷àñòè (ðèñ. 4.17), òî ê åãî êîíöàì ïîáåãóò èìïóëüñû,
êàê ýòî èìåëî ìåñòî â øíóðå ñ ãðóçàìè, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 4.1. Îäíàêî ïîïåðå÷íûå
ñìåùåíèÿ ÷àñòèö ñòåðæíÿ áóäóò íåçàìåòíû äëÿ ãëàçà, ïîýòîìó äëÿ ðåãèñòðàöèè áåãó-
ùèõ ïî ñòåðæíþ âîçìóùåíèé òðåáóþòñÿ ñïåöèàëüíûå ìåòîäû.
         Ïîñêîëüêó äèñïåðñèÿ âîëí ìåõàíè÷åñêîé ïðèðîäû â ñïëîøíîé ñðåäå îòñóòñòâó-
åò, òî ñêîðîñòü èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.
          Íà ðèñ. 4.18 ïîêàçàí ôðàãìåíò êîëåáëþùåãîñÿ ñòåðæíÿ. Íà ñðåäíèé ýëåìåíò
äëèíîé dx äåéñòâóþò êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ (ñëåâà σ τ (x ) è ñïðàâà σ τ ( x + dx ) ), âåëè-
÷èíû êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíû äåôîðìàöèÿì ñäâèãà ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ:
                                                           ∂s
                            σ τ ( x ) = G tg γ ( x ) = G        ,
                                                           ∂x x                                    (4.45)
                                                              ∂s
                       σ τ ( x + dx ) = G tg γ ( x + dx ) = G                  .
                                                              ∂x      x + dx
Çäåñü G — ìîäóëü ñäâèãà, γ — óãîë ñäâèãà.
                                                           s
                                                                                      st(x + dx)


                                                                                   st(x)

                                                           0        x – dx x x + dx                 x
                     Ðèñ. 4.17.                                                Ðèñ. 4.18.

Страницы