Колебания и волны. Алешкевич В.А - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
78
Âèäîèçìåíèì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
è ñäåëàåì îáà êîíöà øíóðà ñâîáîäíûìè
(ïðèâÿæåì èõ ê íàòÿíóòûì ëåãêèì íèòÿì).
Ïîäñ÷èòàåì ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû,
íà êîòîðûõ âîçáóæäàþòñÿ ñòîÿ÷èå âîëíû
(ìîäû). Ó÷òåì, ÷òî ïîñëå äâóõ îòðàæåíèé
èìïóëüñ íå ìåíÿåò ñâîþ ïîëÿðíîñòü, ïî-
ýòîìó óñëîâèå (4.40) îñòàíåòñÿ ïðåæíèì.
Íà ðèñ. 4.15 ïîêàçàíû êîíôèãó-
ðàöèè ìîä äëÿ øíóðà ñî ñâîáîäíûìè êîí-
öàìè. Âèäíî, ÷òî ïðè íîðìàëüíûõ êîëå-
áàíèÿõ íà äëèíå øíóðà òàêæå äîëæíî óê-
ëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí, íî òà-
êèì îáðàçîì, ÷òîáû íà êîíöàõ øíóðà
áûëè ïó÷íîñòè.
Çàêðåïèì òåïåðü òîëüêî ëåâûé êîíåö øíóðà è áóäåì äâèãàòü êðîíøòåéí ñ ìàëîé
àìïëèòóäîé
0
ξ . Óñëîâèå îïòèìàëüíîãî âîçáóæäåíèÿ ñòîÿ÷èõ âîëí (ìîä) ïîëó÷àåòñÿ èç
òåõ ñîîáðàæåíèé, ÷òî èìïóëüñ îáðàùàåòñÿ òîëüêî ïðè îòðàæåíèè îò ëåâîãî êîíöà øíó-
ðà. Äëÿ óñèëåíèÿ èìïóëüñà íåîáõîäèìî, ÷òîáû ëåâûé êîíåö â ìîìåíò âðåìåíè
tt ∆=
äâèãàëñÿ âíèç, ïðîõîäÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ:
.)cos()(
,0)sin()(
00
0
ωξ−=∆ωωξ=∆
=∆ωξ=∆
tts
tts
&
(4.41)
Ïîýòîìó ÷àñòîòà ω äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
,)12(
π−=∆ω
pt
p
(4.42)
ãäå p = I, II, III, ...
Îòñþäà
).12(
2
0
−
π
=ω p
c
p
l
(4.43)
Ïîñëåäíåå óñëîâèå ñòàíîâèòñÿ áîëåå íàãëÿäíûì, åñëè ïåðåéòè ê äëèíå âîëíû
p
λ
:
,
4
)12(
p
p
λ
−=l
(4.44)
ãäå
... III, II, I,=p
.
Ñîîòâåòñòâóþùèå òðè íèçøèå ìîäû èçîáðàæåíû íà ðèñ. 4.16. Î÷åâèäíî, ÷òî
ýòî áóäóò ñòîÿ÷èå âîëíû, îòâå÷àþùèå ðàçíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì: íà ëåâîì êîíöå
äîëæåí áûòü óçåë, à íà ïðàâîì  ïó÷íîñòü. Íà äëèíå øíóðà ïðè ýòîì óêëàäûâàåòñÿ
íå÷åòíîå ÷èñëî ÷åòâåðòåé äëèí âîëí.
Çàìå÷àíèå. Ïðè âîçáóæäåíèè ìîäû ìû çàäàâàëè çàêîí äâèæåíèÿ çàêðåïëåííîãî
êîíöà øíóðà â âèäå
tts ωξ= sin)(
0
, ÷òî ìîæåò âûçâàòü ó ÷èòàòåëÿ íåêîòîðîå íåäîóìåíèå
êàê ìîæåò äâèãàòüñÿ çàêðåïëåííûé êîíåö? Îäíàêî àìïëèòóäà êîëåáàíèé
0
ξ îáû÷íî çíà÷è-
w
I
w
II
w
III
l
I
2
l
II
2
l
III
2
Ðèñ. 4.15.
78                                                                   Êîëåáàíèÿ è âîëíû

                                                       Âèäîèçìåíèì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
                                          wI
                                               è ñäåëàåì îáà êîíöà øíóðà ñâîáîäíûìè
                   lI                          (ïðèâÿæåì èõ ê íàòÿíóòûì ëåãêèì íèòÿì).
                   2                           Ïîäñ÷èòàåì ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû,
                                               íà êîòîðûõ âîçáóæäàþòñÿ ñòîÿ÷èå âîëíû
                                       wII     (ìîäû). Ó÷òåì, ÷òî ïîñëå äâóõ îòðàæåíèé
                                               èìïóëüñ íå ìåíÿåò ñâîþ ïîëÿðíîñòü, ïî-
           lII
           2                                   ýòîìó óñëîâèå (4.40) îñòàíåòñÿ ïðåæíèì.
                                                       Íà ðèñ. 4.15 ïîêàçàíû êîíôèãó-
                                               ðàöèè ìîä äëÿ øíóðà ñî ñâîáîäíûìè êîí-
                                       wIII
                                               öàìè. Âèäíî, ÷òî ïðè íîðìàëüíûõ êîëå-
      lIII                                     áàíèÿõ íà äëèíå øíóðà òàêæå äîëæíî óê-
       2                                       ëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí, íî òà-
                  Ðèñ. 4.15.                   êèì îáðàçîì, ÷òîáû íà êîíöàõ øíóðà
                                               áûëè ïó÷íîñòè.
           Çàêðåïèì òåïåðü òîëüêî ëåâûé êîíåö øíóðà è áóäåì äâèãàòü êðîíøòåéí ñ ìàëîé
àìïëèòóäîé ξ 0 . Óñëîâèå îïòèìàëüíîãî âîçáóæäåíèÿ ñòîÿ÷èõ âîëí (ìîä) ïîëó÷àåòñÿ èç
òåõ ñîîáðàæåíèé, ÷òî èìïóëüñ îáðàùàåòñÿ òîëüêî ïðè îòðàæåíèè îò ëåâîãî êîíöà øíó-
ðà. Äëÿ óñèëåíèÿ èìïóëüñà íåîáõîäèìî, ÷òîáû ëåâûé êîíåö â ìîìåíò âðåìåíè t = ∆t
äâèãàëñÿ âíèç, ïðîõîäÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ:
                               s (∆t ) =ξ 0 sin(ω∆t ) = 0,
                                                                                     (4.41)
                               s&(∆t ) = ξ 0 ω cos(ω∆t ) = −ξ 0 ω.
           Ïîýòîìó ÷àñòîòà ω äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
                                     ω p ∆t = (2 p − 1)π,                            (4.42)
ãäå p = I, II, III, ...
         Îòñþäà
                                          πc 0
                                     ωp =      (2 p − 1).                         (4.43)
                                           2l
           Ïîñëåäíåå óñëîâèå ñòàíîâèòñÿ áîëåå íàãëÿäíûì, åñëè ïåðåéòè ê äëèíå âîëíû λ p :
                                                      λp
                                      l = (2 p − 1)        ,                         (4.44)
                                                      4
ãäå p = I, II, III, ... .
        Ñîîòâåòñòâóþùèå òðè íèçøèå ìîäû èçîáðàæåíû íà ðèñ. 4.16. Î÷åâèäíî, ÷òî
ýòî áóäóò ñòîÿ÷èå âîëíû, îòâå÷àþùèå ðàçíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì: íà ëåâîì êîíöå
äîëæåí áûòü óçåë, à íà ïðàâîì — ïó÷íîñòü. Íà äëèíå øíóðà ïðè ýòîì óêëàäûâàåòñÿ
íå÷åòíîå ÷èñëî ÷åòâåðòåé äëèí âîëí.
        Çàìå÷àíèå. Ïðè âîçáóæäåíèè ìîäû ìû çàäàâàëè çàêîí äâèæåíèÿ çàêðåïëåííîãî
êîíöà øíóðà â âèäå s (t ) = ξ 0 sin ωt , ÷òî ìîæåò âûçâàòü ó ÷èòàòåëÿ íåêîòîðîå íåäîóìåíèå —
êàê ìîæåò äâèãàòüñÿ çàêðåïëåííûé êîíåö? Îäíàêî àìïëèòóäà êîëåáàíèé ξ 0 îáû÷íî çíà÷è-

Страницы