Колебания и волны. Алешкевич В.А - 81 стр.

80                                                              Êîëåáàíèÿ è âîëíû

         Åñëè ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ðàâíà S, òî ìàññà ýëåìåíòà
dm = Sρdx (ρ — ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà). Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå åãî äâèæåíèÿ ìîæåò
áûòü çàïèñàíî â âèäå:
                                        ∂2s ∂s        ∂s 
                               Sρ d x = G 
                                         2
                                                     −     S .
                                                                              (4.46)
                                 ∂t         ∂x x +dx ∂x x 
         Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè (4.46) íà S è dx, ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèå
                                 ∂2s G ∂2s
                                     =       .                         (4.47)
                                 ∂t 2 ρ ∂x 2
         Åãî ðåøåíèåì, êàê ìû óæå îòìå÷àëè âûøå, ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ àðãó-
ìåíòà θ = t m x / c :
                                                        x
                              s ( x, t ) = s (θ) = s t m  ,                  (4.48)
                                                        c
à ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû
                                         G
                                           .  c=                         (4.49)
                                         ρ
         Ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ è îòðàæåíèÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí â ñòåðæíå ïîëíîñ-
òüþ àíàëîãè÷íû òàêîâûì â îäíîðîäíîì íàòÿíóòîì øíóðå, ïîýòîìó ìû èõ ðàññìàòðèâàòü
íå áóäåì. Ñêîíöåíòðèðóåì âíèìàíèå íà çàêîíîìåðíîñòÿõ ïåðåíîñà ìåõàíè÷åñêîé ýíåð-
ãèè áåãóùåé âîëíîé.


         Ýíåðãèÿ, ïåðåíîñèìàÿ âîëíîé. Â ëåêöèè ïî äåôîðìàöèÿì óïðóãèõ òâåðäûõ
òåë ìû îòìå÷àëè, ÷òî ïðè äåôîðìàöèè ñäâèãà â åäèíèöå îáúåìà òåëà çàïàñàåòñÿ ïîòåí-
öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
                                                          2
                               1      1  ∂s 
                          wγ = Gγ 2 = G   ,                        (4.50)
                               2      2  ∂x 
íàçûâàåìàÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè äåôîðìàöèè ñäâèãà. Â (4.50) ïîëàãàåì
          ∂s
γ ≈ tgγ =    .
          ∂x
         Ïîìèìî ýòîãî, åäèíèöà îáúåìà ñ ìàññîé, ðàâíîé ρ , è êîëåáàòåëüíîé ñêîðîñòüþ
v = ∂s / ∂t èìååò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
                                                           2
                                  1        1  ∂s 
                                     ρv 2 = ρ  .
                                   wv =                                        (4.51)
                                   2       2  ∂t 
         Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû îáúåìà ðàâíà
                                                                2
                                        1   ∂s 
                                                      2
                                                     ∂s 
                           w = wγ + wv = G  + ρ         .                 (4.52)
                                        2   ∂x   ∂t    
         Ïîêàæåì, ÷òî â áåãóùåé âîëíå (4.48) wγ = wv . Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå:
                      ∂s ds ∂θ ds  1  ∂s ds ∂θ ds
                         =       =     m ;     =        =     ⋅ 1.            (4.53)
                      ∂x dθ ∂x dθ  c  ∂t dθ ∂t dθ