Колебания и волны. Алешкевич В.А - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
82
Óäîáñòâî âåêòîðà Óìîâà ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî îùóòèìûì, êîãäà âîëíà ðàñïðîñ-
òðàíÿåòñÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ ïîâåð-
õíîñòü S âûðàæàåòñÿ â âèäå èíòåãðàëà ïî ýòîé ïîâåðõíîñòè:
∫
⋅=Φ
S
SJ d
. (4.62)
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà áóäåò èñïîëüçîâàíà íèæå.
Ïîäñ÷èòàåì ñðåäíåå çà ïåðèîä çíà÷åíèå âåêòîðà Óìîâà äëÿ áåãóùåé âäîëü ñòåð-
æíÿ ïîïåðå÷íîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû
)sin(),(
0
xtstxs k−ω=
. (4.63)
Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè (ñóììà ïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé) ðàâíà
)(cos
222
0
2
xts
t
s
w k−ωωρ=
∂
∂
ρ=
. (4.64)
 íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìå-
íè îíà ðàñïðåäåëåíà âäîëü ñòåðæíÿ
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.21. Ñ òå÷å-
íèåì âðåìåíè ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñìå-
ùàåòñÿ âäîëü îñè Oõ ñî ñêîðîñòüþ ñ.
Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ÷åðåç ëþ-
áîå ñå÷åíèå x = const áóäåò ïåðèîäè-
÷åñêè âîçðàñòàòü îò íóëÿ äî ìàêñè-
ìàëüíîé âåëè÷èíû
22
0
ωρs
. Ïîýòîìó óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì J çà ïåðè-
îä
ωπ= /2T
. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ áåãóùåé âîëíû è ðàâíà
∫
ρω==
T
scJdt
T
I
0
2
0
2
.
2
11
(4.65)
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó àìïëèòóäû.
 ñòîÿ÷åé âîëíå íåò ïåðåíîñà ýíåðãèè, ò. ê. îíà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ
áåãóùèõ âîëí, ïåðåíîñÿùèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè â ïðîòèâîïîëîæíûõ íà-
ïðàâëåíèÿõ. Îäíàêî, ëîêàëüíîå äâèæåíèå ýíåðãèè â îãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå ìåæ-
äó ñîñåäíèìè óçëàìè âñå æå ïðîèñõîäèò.  ñàìîì äåëå, çàïèøåì óðàâíåíèå ñòîÿ÷åé
âîëíû (4.34), îïóñòèâ â íåì ïîñòîÿííûå ôàçîâûå äîáàâêè
2/
îòð
ϕ
è
lk
:
.sincos2),(
0
txstxs ω= k
(4.66)
Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè äåôîðìàöèè ñäâèãà ðàâíà:
,sinsin2
2
1
2222
0
2
txGs
x
s
Gw ω=
∂
∂
=
γ
kk
(4.67)
à îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âûðàæàåòñÿ êàê:
txGstxs
t
s
w ω=ωρω=
∂
∂
ρ=
2222
0
2222
0
2
coscos2coscos2
2
1
kkk
v
, (4.68)
ïîñêîëüêó
ρ
=
ω
=
G
c
2
2
2
k
.
Ëîêàëüíîå äâèæåíèå ýíåðãèè íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò ðèñ. 4.22, íà êîòîðîì ïîêà-
çàí ôðàãìåíò ñòîÿ÷åé âîëíû â ìîìåíòû âðåìåíè
0
1
=t è
4/
12
Ttt +=
(à) è ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ðàñïðåäåëåíèÿ
γ
w
(á) è
v
w
(â).
Ðèñ. 4.21.
x
c
w
rw
s
0
22
0
82                                                                    Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Óäîáñòâî âåêòîðà Óìîâà ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî îùóòèìûì, êîãäà âîëíà ðàñïðîñ-
òðàíÿåòñÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ ïîâåð-
õíîñòü S âûðàæàåòñÿ â âèäå èíòåãðàëà ïî ýòîé ïîâåðõíîñòè:
                                          Φ = ∫ J ⋅ dS .                                (4.62)
                                                 S
       Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà áóäåò èñïîëüçîâàíà íèæå.
       Ïîäñ÷èòàåì ñðåäíåå çà ïåðèîä çíà÷åíèå âåêòîðà Óìîâà äëÿ áåãóùåé âäîëü ñòåð-
æíÿ ïîïåðå÷íîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû
                                s ( x, t ) = s 0 sin(ωt − kx ) .               (4.63)
         Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè (ñóììà ïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé) ðàâíà
                                         2
                                   ∂s 
                             w = ρ  = ρs 02 ω 2 cos 2 (ωt − kx ) .                  (4.64)
                                   ∂t 
                                                                Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìå-
    w
                                                      íè îíà ðàñïðåäåëåíà âäîëü ñòåðæíÿ
   2 2
                                                      òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.21. Ñ òå÷å-
rs0w                                             c íèåì âðåìåíè ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñìå-
                                                      ùàåòñÿ âäîëü îñè Oõ ñî ñêîðîñòüþ ñ.
                                                      Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ÷åðåç ëþ-
     0                                         x áîå ñå÷åíèå x = const áóäåò ïåðèîäè-
                     Ðèñ. 4.21.                       ÷åñêè âîçðàñòàòü îò íóëÿ äî ìàêñè-
ìàëüíîé âåëè÷èíû ρs 02 ω2 . Ïîýòîìó óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì J çà ïåðè-
îä T = 2π / ω . Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ áåãóùåé âîëíû è ðàâíà
                                             T
                                        1         1
                                             Jdt = cρω 2 s 02 .
                                        T ∫0
                                   I=                                                   (4.65)
                                                  2
        Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó àìïëèòóäû.
         ñòîÿ÷åé âîëíå íåò ïåðåíîñà ýíåðãèè, ò. ê. îíà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ
áåãóùèõ âîëí, ïåðåíîñÿùèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè â ïðîòèâîïîëîæíûõ íà-
ïðàâëåíèÿõ. Îäíàêî, ëîêàëüíîå äâèæåíèå ýíåðãèè â îãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå ìåæ-
äó ñîñåäíèìè óçëàìè âñå æå ïðîèñõîäèò.  ñàìîì äåëå, çàïèøåì óðàâíåíèå ñòîÿ÷åé
âîëíû (4.34), îïóñòèâ â íåì ïîñòîÿííûå ôàçîâûå äîáàâêè ϕ îòð / 2 è kl :
                                  s ( x, t ) = 2 s 0 cos kx sin ωt.                     (4.66)
        Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè äåôîðìàöèè ñäâèãà ðàâíà:
                                    2
                           1  ∂s 
                       wγ = G   = 2 s02 k 2G sin 2 kx sin 2 ωt ,                      (4.67)
                           2  ∂x 
à îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âûðàæàåòñÿ êàê:
                           2
                1  ∂s 
            wv = ρ  = 2 s 02 ω 2 ρ cos 2 kx cos 2 ωt = 2 s 02 k 2 G cos 2 kx cos 2 ωt , (4.68)
                2  ∂t 
               ω2 G
ïîñêîëüêó c 2 = 2 = .
               k     ρ
       Ëîêàëüíîå äâèæåíèå ýíåðãèè íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò ðèñ. 4.22, íà êîòîðîì ïîêà-
çàí ôðàãìåíò ñòîÿ÷åé âîëíû â ìîìåíòû âðåìåíè t1 = 0 è t 2 = t1 + T / 4 (à) è ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ðàñïðåäåëåíèÿ wγ (á) è wv (â).

Страницы