Колебания и волны. Алешкевич В.А - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
84
Ðàññìîòðèì òåïåðü
ðàñïðîñòðàíåíèå èìïóëüñîâ
ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿ â ñòåðæíå.
Ìûñëåííî ðàçîáüåì
ñòåðæåíü íà ðÿä ýëåìåíòîâ äëè-
íîé dx êàæäûé. Ïðè ðàñïðîñò-
ðàíåíèè ïðîäîëüíîé âîëíû êîíöû êàæäîãî ýëåìåíòà, îòìå÷åííûå íà ðèñ. 4.24 ñïëîøíû-
ìè ëèíèÿìè, áóäóò ñìåùåíû â íîâûå ïîëîæåíèÿ, îòìå÷åííûå ïóíêòèðîì. Ýòè ñìåùåíèÿ
s áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè, åñëè îíè ïðîèñõîäÿò â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè
îñè Oõ, è îòðèöàòåëüíûìè  â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.
Ïóñòü ëåâûé êîíåö íåêîòîðîãî ýëåìåíòà, èìåþùèé êîîðäèíàòó õ, ñìåñòèëñÿ â äàí-
íûé ìîìåíò âðåìåíè t íà ðàññòîÿíèå
),( txs
, à ïðàâûé êîíåö  íà
),d( txxs +
. Äåôîðìàöèÿ
ðàñòÿæåíèÿ (ñæàòèÿ) îïðåäåëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíûì óäëèíåíèåì ýëåìåíòà dx:
.
d
),(),d(
),(
x
s
x
txstxxs
tx
∂
∂
=
−+
=ε
(4.69)
Îòìåòèì, äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò
0>ε
, à ñæàòèÿ 
0<ε
.
 îòëè÷èå îò ïîïåðå÷íîé âîëíû, ïðè ðàñòÿæåíèè (ñæàòèè) óìåíüøàåòñÿ (óâåëè-
÷èâàåòñÿ) ïëîòíîñòü ñðåäû ρ. Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
.|| ;
00
ρ<<δρδρ+ρ=ρ (4.70)
Çäåñü
δρ
 ìàëàÿ äîáàâêà ê ðàâíîâåñíîé ïëîòíîñòè
0
ρ
, ïðè÷åì
δρ
ìîæåò áûòü êàê
ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé. Ñ ó÷åòîì ïîñòîÿíñòâà ìàññû äåôîðìèðóåìîãî ýëå-
ìåíòà dx ìîæåì çàïèñàòü
ρρδρ ρδρ ε
00 0
1ddd d
x x sx xt sxt x=+ ++ − =+ +
()[(,)(,)]()()
. (4.71)
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è ïðåíåáðåãàÿ ìàëîé âåëè÷èíîé
δρ⋅ε
, íàõîäèì
.
0
ε−=
ρ
δρ
(4.72)
Ðèñ. 4.24.
x
x
x+ x
d
sxt(,) sx+ xt(d,)
Ðèñ. 4.25.
v
v
c
c
c
c
c
c
x
x
x
xx
x
s
s
e
e
dr
dr
ÈÌÏÓËÜÑ ÑÆÀÒÈß ÈÌÏÓËÜÑ ÐÀÑÒßÆÅÍÈß
84                                                                        Êîëåáàíèÿ è âîëíû
            s(x,t)      s(x + dx,t)                           Ðàññìîòðèì òåïåðü
                                                      ðàñïðîñòðàíåíèå èìïóëüñîâ
                                                      ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿ â ñòåðæíå.
                                                              Ìûñëåííî ðàçîáüåì
         x       x + dx                            x ñòåðæåíü íà ðÿä ýëåìåíòîâ äëè-
                      Ðèñ. 4.24.
                                                      íîé dx êàæäûé. Ïðè ðàñïðîñò-
ðàíåíèè ïðîäîëüíîé âîëíû êîíöû êàæäîãî ýëåìåíòà, îòìå÷åííûå íà ðèñ. 4.24 ñïëîøíû-
ìè ëèíèÿìè, áóäóò ñìåùåíû â íîâûå ïîëîæåíèÿ, îòìå÷åííûå ïóíêòèðîì. Ýòè ñìåùåíèÿ
s áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè, åñëè îíè ïðîèñõîäÿò â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè
îñè Oõ, è îòðèöàòåëüíûìè — â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.
        Ïóñòü ëåâûé êîíåö íåêîòîðîãî ýëåìåíòà, èìåþùèé êîîðäèíàòó õ, ñìåñòèëñÿ â äàí-
íûé ìîìåíò âðåìåíè t íà ðàññòîÿíèå s ( x, t ) , à ïðàâûé êîíåö — íà s ( x + dx, t ) . Äåôîðìàöèÿ
ðàñòÿæåíèÿ (ñæàòèÿ) îïðåäåëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíûì óäëèíåíèåì ýëåìåíòà dx:
                                      s ( x + dx, t ) − s ( x, t ) ∂s      (4.69)
                          ε( x, t ) =                             = .
                                                dx                 ∂x
       Îòìåòèì, äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ε > 0 , à ñæàòèÿ — ε < 0 .
          îòëè÷èå îò ïîïåðå÷íîé âîëíû, ïðè ðàñòÿæåíèè (ñæàòèè) óìåíüøàåòñÿ (óâåëè-
÷èâàåòñÿ) ïëîòíîñòü ñðåäû ρ. Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
                                      ρ = ρ 0 + δρ; | δρ |<< ρ 0 .                                     (4.70)
Çäåñü δρ — ìàëàÿ äîáàâêà ê ðàâíîâåñíîé ïëîòíîñòè ρ 0 , ïðè÷åì δρ ìîæåò áûòü êàê
ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé. Ñ ó÷åòîì ïîñòîÿíñòâà ìàññû äåôîðìèðóåìîãî ýëå-
ìåíòà dx ìîæåì çàïèñàòü
               ρ0 dx = (ρ0 + δρ)[dx + s( x + dx , t ) − s( x , t )] = (ρ0 + δρ)dx (1 + ε ) .           (4.71)
         Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è ïðåíåáðåãàÿ ìàëîé âåëè÷èíîé ε ⋅ δρ , íàõîäèì
                                                δρ
                                                   = −ε.                                               (4.72)
                                                ρ0
          ÈÌÏÓËÜÑ ÑÆÀÒÈß                                      ÈÌÏÓËÜÑ ÐÀÑÒßÆÅÍÈß




  s               v                                      s           v
                                      c
                                                x                                              c         x

  e                                                      e                                         c
                                                x                                                        x
                                          c
dr                                                     dr
                                          c
                                                x                                                        x
                                                                                                   c
                                               Ðèñ. 4.25.

Страницы