Колебания и волны. Алешкевич В.А - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
86
Ñêîðîñòü âîëí â òîëñòîì ñòåðæíå. Ïóñòü âäîëü îñè òîëñòîãî ñòåðæíÿ
(îñè õ) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðîäîëüíàÿ âîëíà, ïðè ýòîì êîëåáëþòñÿ ýëåìåíòû ñòåð-
æíÿ, íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè åãî îñè.
Îäèí èç òàêèõ ýëåìåíòîâ ïîêàçàí íà ðèñ. 4.27. Ïîä äåéñòâèåì íîðìàëüíî-
ãî íàïðÿæåíèÿ
1
σ
îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå
1
ε
îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûì óðàâíåíèåì
(1.27), ïðèâåäåííûì â ëåêöèè ïî ìåõàíèêå óïðóãèõ òåë:
E
µσ+σ−σ
=ε
)(
321
1
. (4.78)
Ýòî óðàâíåíèå îòðàæàåò òîò
ôàêò, ÷òî ïðè óäëèíåíèè ýëåìåíòà dx,
èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 4.27, ïëîùàäü
åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ óìåíüøàåòñÿ
(ñâÿçü ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé äåôîð-
ìàöèé îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì
Ïóàññîíà
2/10 <µ<
). Ýòîò ýëåìåíò
ïîòÿíåò ê îñè ñòåðæíÿ îêðóæàþùèå åãî
ýëåìåíòû, ðàçâèâàÿ íàïðÿæåíèÿ
2
σ
è
3
σ . Ýòè ýëåìåíòû (ëåæàùèå ìåæäó
ïëîñêîñòÿìè x = const è x+dx=const)
íà÷íóò ïðèõîäèòü â äâèæåíèå: ñíà÷à-
ëà íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè îñè ñòåðæ-
íÿ, à çàòåì è ýëåìåíòû, áëèçêèå ê ïîâåðõíîñòè. ×åðåç âðåìÿ
c
L
t
2/
=∆
(L  ïîïåðå÷íûé
ðàçìåð ñòåðæíÿ, ñ  ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ) âñå ýëåìåíòû ñìåñòÿòñÿ, è
íàïðÿæåíèÿ
2
σ è
3
σ èñ÷åçíóò.
Åñëè äëèòåëüíîñòü
è
τ
èìïóëüñà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ âäîëü îñè ñòåðæíÿ, âåëè-
êà, òàê ÷òî
c
L
t
2
è
=∆>>τ
, òî â (4.78) ìîæíî íå ó÷èòûâàòü
2
σ è
3
σ . Ñêîðîñòü òàêîãî äëèí-
íîãî èìïóëüñà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ôîðìóëîé (4.77). Òàêîé ðåæèì ìîæíî ðåàëèçîâàòü, åñëè
è
τ<< cL . (4.79)
Óñëîâèå (4.79) îçíà÷àåò, ÷òî ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ñòåðæíÿ L çíà÷èòåëüíî ìåíüøå
äëèíû èìïóëüñà. Òàêîé ñòåðæåíü ìîæíî ñ÷èòàòü òîíêèì. Åñëè ðå÷ü èäåò î ãàðìîíè÷åñ-
êîé âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü ñòåðæíÿ, òî óñëîâèå (4.79) èìååò âèä
,λ<<L
(4.80)
ãäå
cT=λ
 äëèíà âîëíû, Ò  ïåðèîä êîëåáàíèé. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ ñòàëüíîãî ñòåð-
æíÿ
5000~
ρ
=
E
c
ì/ñ. Ïðè ÷àñòîòå
5000=ν
Ãö, λ=c / ν∼ 1ì, ïîýòîìó ñòåðæíè ñ
ïîïåðå÷íûì ðàçìåðîì L~1 ñì ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ òîíêèìè.
Ðèñ. 4.27.
x
1
xx
x
3
x
2
L
L
xx
+d
s
1
s
1
s
2
s
2
s
3
s
3
0
86                                                                         Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Ñêîðîñòü âîëí â òîëñòîì ñòåðæíå. Ïóñòü âäîëü îñè òîëñòîãî ñòåðæíÿ
(îñè õ) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðîäîëüíàÿ âîëíà, ïðè ýòîì êîëåáëþòñÿ ýëåìåíòû ñòåð-
æíÿ, íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè åãî îñè.
           Îäèí èç òàêèõ ýëåìåíòîâ ïîêàçàí íà ðèñ. 4.27. Ïîä äåéñòâèåì íîðìàëüíî-
ãî íàïðÿæåíèÿ σ1 îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå ε1 îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûì óðàâíåíèåì
(1.27), ïðèâåäåííûì â ëåêöèè ïî ìåõàíèêå óïðóãèõ òåë:
                                                  σ1 − (σ 2 + σ 3 )µ
                                           ε1 =                      .                           (4.78)
                                                         E
                                                                         Ýòî óðàâíåíèå îòðàæàåò òîò

      x2                                                         ôàêò, ÷òî ïðè óäëèíåíèè ýëåìåíòà dx,
                                                                 èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 4.27, ïëîùàäü
                                      L
                                                                 åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ óìåíüøàåòñÿ
                            s2        s3           L             (ñâÿçü ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé äåôîð-
                                                                 ìàöèé îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì
             s1                     s1
                                                                 Ïóàññîíà 0 < µ < 1 / 2 ). Ýòîò ýëåìåíò
              s3       s2
                                                                 ïîòÿíåò ê îñè ñòåðæíÿ îêðóæàþùèå åãî
       0                                                   x1    ýëåìåíòû, ðàçâèâàÿ íàïðÿæåíèÿ σ 2 è
 x3                                                              σ 3 . Ýòè ýëåìåíòû (ëåæàùèå ìåæäó
                   x         x + dx                        x     ïëîñêîñòÿìè x = const è x + dx = const)
                       Ðèñ. 4.27.
                                                                 íà÷íóò ïðèõîäèòü â äâèæåíèå: ñíà÷à-
                                                                 ëà — íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè îñè ñòåðæ-
                                                            L/2
íÿ, à çàòåì è ýëåìåíòû, áëèçêèå ê ïîâåðõíîñòè. ×åðåç âðåìÿ ∆t =  (L — ïîïåðå÷íûé
                                                              c
ðàçìåð ñòåðæíÿ, ñ — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ) âñå ýëåìåíòû ñìåñòÿòñÿ, è
íàïðÿæåíèÿ σ 2 è σ 3 èñ÷åçíóò.
       Åñëè äëèòåëüíîñòü τ è èìïóëüñà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ âäîëü îñè ñòåðæíÿ, âåëè-
                      L
êà, òàê ÷òî τ è >> ∆t =  , òî â (4.78) ìîæíî íå ó÷èòûâàòü σ 2 è σ 3 . Ñêîðîñòü òàêîãî äëèí-
                      2c
íîãî èìïóëüñà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ôîðìóëîé (4.77). Òàêîé ðåæèì ìîæíî ðåàëèçîâàòü, åñëè
                                                   L << cτ è .                                   (4.79)
        Óñëîâèå (4.79) îçíà÷àåò, ÷òî ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ñòåðæíÿ L çíà÷èòåëüíî ìåíüøå
äëèíû èìïóëüñà. Òàêîé ñòåðæåíü ìîæíî ñ÷èòàòü òîíêèì. Åñëè ðå÷ü èäåò î ãàðìîíè÷åñ-
êîé âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü ñòåðæíÿ, òî óñëîâèå (4.79) èìååò âèä
                                                    L << λ,                                      (4.80)
ãäå λ = cT — äëèíà âîëíû, Ò — ïåðèîä êîëåáàíèé. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ ñòàëüíîãî ñòåð-
         E
æíÿ c =    ~ 5000 ì/ñ. Ïðè ÷àñòîòå ν = 5000 Ãö, λ = c / ν ∼ 1 ì, ïîýòîìó ñòåðæíè ñ
         ρ
ïîïåðå÷íûì ðàçìåðîì L ~ 1 ñì ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ òîíêèìè.

Страницы