Колебания и волны. Алешкевич В.А - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
88
ßâëåíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðîõîæäå-
íèå ïðîäîëüíîé âîëíû ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ óïðóãèõ ñðåä ïðè íîðìàëüíîì
ïàäåíèè âîëíû íà ýòó ãðàíèöó.
Ïóñòü ïðîäîëüíàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿ-
åòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
111
/
ρ= Ec
â ñðåäå ñ ìîäó-
ëåì Þíãà
1
E
è ðàâíîâåñíîé ïëîòíîñòüþ
1
ρ
(ðèñ.4.28). Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòà âîëíà íà ãðà-
íèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä (õ = 0 íà ðèñóíêå) ÷àñòè÷-
íî îòðàæàåòñÿ è ÷àñòè÷íî ïðîõîäèò âî âòîðóþ
ñðåäó, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðàìè
2
E
è
2
ρ . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì çàïèñàòü
1-ÿ ñðåäà 2-ÿ ñðåäà
(ïàäàþùàÿ + îòðàæåííàÿ âîëíà) (ïðîøåäøàÿ âîëíà)
)sin()sin(),(
1011011
xktsxktstxs +ω
′
+−ω=
)sin(),(
2022
xktstxs −ω=
(4.87)
Çäåñü ω  ÷àñòîòà,
01
s
,
01
s
′
è
02
s
 àìïëèòóäû ïàäàþùåé, îòðàæåííîé è ïðîøåä-
øåé âîëí ñîîòâåòñòâåííî,
11
/
cω=k
è
22
/
cω=k
 ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå ÷èñëà.
×òîáû íàéòè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àìïëèòóäàìè òðåõ âîëí, îïðåäåëÿþùèå îòðà-
æàòåëüíóþ è ïðîïóñêàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü («ïðîçðà÷íîñòü») ãðàíèöû ðàçäåëà, çàïè-
øåì äâà óñëîâèÿ, êîòîðûå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïðè õ = 0.
Ïåðâîå  ýòî óñëîâèå íåðàçðûâíîñòè âåùåñòâà:
),0(),0(
21
tsts =
. (4.88)
Âòîðîå  ðàâåíñòâî íàïðÿæåíèé:
),0(),0(
21
tt σ=σ
, èëè
),0(),0(
2211
tEtE ε=ε
. (4.89)
Ñ ó÷åòîì (4.87) èç ýòèõ óñëîâèé ïîëó÷àåì:
.
,
220211011101
020101
kkk
EsEsEs
sss
−=
′
+−
=
′
+
(4.90)
 àêóñòèêå ôóíäàìåíòàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå èìïåäàíñà, èëè óäåëüíîãî âîë-
íîâîãî (àêóñòè÷åñêîãî) ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà. Ýòà âåëè÷èíà z îïðåäåëÿåòñÿ êàê:
.
ñêîðîñòü íàÿêîëåáàòåëü
íàïðÿæåíèå ñæèìàþùåå
v
σ−
==z
(4.91)
Èìïåäàíñ ëåãêî ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëà, âîñïîëüçî-
âàâøèñü ôîðìóëîé (4.73):
.
cE
v
−=
σ
=ε
(4.92)
Îòñþäà
.c
c
E
z
ρ==
σ−
=
v
(4.93)
Ðèñ. 4.28.
E
11
, r E
22
, r
0
x
c
1
88                                                                                 Êîëåáàíèÿ è âîëíû

          ßâëåíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðîõîæäå-
íèå ïðîäîëüíîé âîëíû ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ óïðóãèõ ñðåä ïðè íîðìàëüíîì
ïàäåíèè âîëíû íà ýòó ãðàíèöó.
                                             Ïóñòü ïðîäîëüíàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿ-
  E1, r 1               E2, r2      åòñÿ ñî ñêîðîñòüþ c1 = E1 / ρ1 â ñðåäå ñ ìîäó-
              c1
                                    ëåì Þíãà E1 è ðàâíîâåñíîé ïëîòíîñòüþ ρ1
                                                  (ðèñ. 4.28). Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòà âîëíà íà ãðà-
                        0               x
                                                  íèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä (õ = 0 íà ðèñóíêå) ÷àñòè÷-
                                                  íî îòðàæàåòñÿ è ÷àñòè÷íî ïðîõîäèò âî âòîðóþ
                                                  ñðåäó, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðàìè E 2
              Ðèñ. 4.28.                          è ρ 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì çàïèñàòü
      1-ÿ ñðåäà                                                          2-ÿ ñðåäà
       (ïàäàþùàÿ + îòðàæåííàÿ âîëíà)                                     (ïðîøåäøàÿ âîëíà)
                                             ′ sin(ωt + k1 x )
      s1 ( x, t ) = s 01 sin(ωt − k1 x ) + s 01                          s 2 ( x, t ) = s 02 sin(ωt − k 2 x )   (4.87)
                                   ′ è s 02 — àìïëèòóäû ïàäàþùåé, îòðàæåííîé è ïðîøåä-
       Çäåñü ω — ÷àñòîòà, s 01 , s 01
øåé âîëí ñîîòâåòñòâåííî, k1 = ω / c1 è k 2 = ω / c2 — ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå ÷èñëà.
       ×òîáû íàéòè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àìïëèòóäàìè òðåõ âîëí, îïðåäåëÿþùèå îòðà-
æàòåëüíóþ è ïðîïóñêàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü («ïðîçðà÷íîñòü») ãðàíèöû ðàçäåëà, çàïè-
øåì äâà óñëîâèÿ, êîòîðûå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïðè õ = 0.
        Ïåðâîå — ýòî óñëîâèå íåðàçðûâíîñòè âåùåñòâà:
                                            s1 (0, t ) = s 2 (0, t ) .                                          (4.88)
        Âòîðîå — ðàâåíñòâî íàïðÿæåíèé:
                         σ1 (0, t ) = σ 2 (0, t ) , èëè E1ε1 (0, t ) = E 2 ε 2 (0, t ) .                        (4.89)
        Ñ ó÷åòîì (4.87) èç ýòèõ óñëîâèé ïîëó÷àåì:
                                           ′ = s02 ,
                                   s01 + s01
                                                                                                                (4.90)
                                                  ′ E1k1 = − s 02 E 2 k 2 .
                                   − s 01 E1k1 + s01
        Â àêóñòèêå ôóíäàìåíòàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå èìïåäàíñà, èëè óäåëüíîãî âîë-
íîâîãî (àêóñòè÷åñêîãî) ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà. Ýòà âåëè÷èíà z îïðåäåëÿåòñÿ êàê:
                                    ñæèìàþùåå íàïðÿæåíèå −σ
                               z=                          =   .                                                (4.91)
                                    êîëåáàòåëüíàÿ ñêîðîñòü   v
       Èìïåäàíñ ëåãêî ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëà, âîñïîëüçî-
âàâøèñü ôîðìóëîé (4.73):
                                                     σ   v
                                               ε=      =− .                                                     (4.92)
                                                     E   c
        Îòñþäà
                                                 −σ E
                                            z=     = = ρc.                                                      (4.93)
                                                 v  c

Страницы