Колебания и волны. Алешкевич В.А - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

87
Ëåêöèÿ 4
Åñëè äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà
c
L
t
2
è
=∆<<τ
(ñòåðæåíü òîëñòûé), òî â (4.78) ñëå-
äóåò ó÷åñòü
2
σ è
3
σ . ×òîáû íàéòè ñâÿçü
1
ε è
1
σ , âìåñòå ñ óðàâíåíèåì (4.78) çàïèøåì
àíàëîãè÷íûå äëÿ
2
ε è
3
ε è ñëîæèì âñå òðè óðàâíåíèÿ:
.
)21)((
321
321
E
µ−σ+σ+σ
=ε+ε+ε
(4.81)
Äëÿ êðàòêîñòè âûêëàäîê ââåäåì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
)(
3
1
321
ε+ε+ε=ε
;
).(
3
1
321
σ+σ+σ=σ
Òîãäà (4.81) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå
.
)21(
E
µ−σ
=ε
(4.82)
Ñ ó÷åòîì (4.82) óðàâíåíèå (4.78) âèäîèçìåíÿåòñÿ:
11
1
21
3
σ
µ+
=
µ−
µε
+ε
E
. (4.83)
Åñëè ïîëîæèòü â òîëñòîì ñòåðæíå
0
32
=ε=ε
, òî
3/
1
ε=ε
, è èñêîìàÿ
ñâÿçü ïîëó÷èòñÿ â âèäå:
.
)1(
)21)(1(
)(
11
1
µ−
µ−µ+σ
=
µ
σ
=ε
EEf
(4.84)
 ýòîì ñëó÷àå ñâÿçü äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìîäóëåì Þíãà
Å, òàê è ñëåäóþùåé ôóíêöèåé êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà
)21)(1(
1
)(
µ−µ+
µ−
=µf
. (4.85)
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ëþáûõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà
1)( >µf
. Ïîýòîìó ñêîðîñòü ïðîäîëüíîé âîëíû â ýòîì ñëó÷àå
)(
0
µ
ρ
= f
E
c
(4.86)
ïðåâûøàåò ñêîðîñòü âîëíû â òîíêîì ñòåðæíå. Âåëè÷èíó
)(µ⋅ fE
îáû÷íî íàçûâàþò «ìî-
äóëåì îäíîñòîðîííåãî ðàñòÿæåíèÿ».
Îòìåòèì, ÷òî íàèáîëåå ñëîæåí àíàëèç äëÿ ïðîìåæóòî÷íîãî ñëó÷àÿ, êîãäà
λ~L
.
Äëÿ âîëí ñ òàêîé äëèíîé âîëíû èìååò ìåñòî äèñïåðñèÿ (ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ãàðìîíè÷åñêîé
âîëíû çàâèñèò îò åå ÷àñòîòû). Ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âîëíû â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ñòåð-
æíÿ âäîëü îñåé
2
x
è
3
x
àíàëîãè÷íî ðàñïðåäåëåíèþ àìïëèòóäû äëÿ øíóðà äëèíîé L ñî
ñâîáîäíûìè êîíöàìè ïðè íîðìàëüíîì êîëåáàíèè. Ñòåðæåíü â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåò ðîëü
âîëíîâîäà. Ïðè åãî ïëàâíîì èçãèáàíèè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü åãî îñè.
Ïðîäîëüíûå âîëíû ïåðåíîñÿò ýíåðãèþ, è äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâû âñå ðàññóæäåíèÿ
è âûâîäû, ïîëó÷åííûå äëÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí. Ôîðìàëüíî âî âñå âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíî-
ñòè ýíåðãèè w, âåêòîðà Óìîâà J è äð. ñëåäóåò âìåñòî ìîäóëÿ ñäâèãà G ïîäñòàâèòü ìîäóëü
Þíãà Å èëè
)(µ⋅ fE
. Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ëåêöèÿ 4                                                                              87
                                                  L
        Åñëè äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà τ è << ∆t =        (ñòåðæåíü òîëñòûé), òî â (4.78) ñëå-
                                                 2c
äóåò ó÷åñòü σ 2 è σ 3 . ×òîáû íàéòè ñâÿçü ε1 è σ1 , âìåñòå ñ óðàâíåíèåì (4.78) çàïèøåì
àíàëîãè÷íûå äëÿ ε 2 è ε 3 è ñëîæèì âñå òðè óðàâíåíèÿ:
                                           (σ1 + σ 2 + σ 3 )(1 − 2µ)
                           ε1 + ε 2 + ε 3 =                          .             (4.81)
                                                      E
        Äëÿ êðàòêîñòè âûêëàäîê ââåäåì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
                      1                                   1
                   ε = (ε1 + ε 2 + ε 3 ) ;           σ = (σ1 + σ 2 + σ 3 ).
                       3                                  3
        Òîãäà (4.81) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå
                                       σ(1 − 2µ)
                                         ε=      .                                 (4.82)
                                           E
        Ñ ó÷åòîì (4.82) óðàâíåíèå (4.78) âèäîèçìåíÿåòñÿ:
                               3µε     1+ µ
                                     ε1 +
                                     =      σ1 .                           (4.83)
                              1 − 2µ    E
       Åñëè ïîëîæèòü â òîëñòîì ñòåðæíå ε 2 = ε 3 = 0 , òî ε = ε1 / 3 , è èñêîìàÿ
ñâÿçü ïîëó÷èòñÿ â âèäå:

                                 σ1     σ (1 + µ)(1 − 2µ)                   (4.84)
                              ε1 =     = 1                .
                                Ef (µ)      E (1 − µ)
         ýòîì ñëó÷àå ñâÿçü äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìîäóëåì Þíãà
Å, òàê è ñëåäóþùåé ôóíêöèåé êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà
                                           1− µ
                                     f (µ) =          .                   (4.85)
                                      (1 + µ)(1 − 2µ)
        Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ëþáûõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà
f (µ) > 1 . Ïîýòîìó ñêîðîñòü ïðîäîëüíîé âîëíû â ýòîì ñëó÷àå

                                       E
                                         c=f (µ)                            (4.86)
                                       ρ0
ïðåâûøàåò ñêîðîñòü âîëíû â òîíêîì ñòåðæíå. Âåëè÷èíó E ⋅ f (µ) îáû÷íî íàçûâàþò «ìî-
äóëåì îäíîñòîðîííåãî ðàñòÿæåíèÿ».
        Îòìåòèì, ÷òî íàèáîëåå ñëîæåí àíàëèç äëÿ ïðîìåæóòî÷íîãî ñëó÷àÿ, êîãäà L ~ λ .
Äëÿ âîëí ñ òàêîé äëèíîé âîëíû èìååò ìåñòî äèñïåðñèÿ (ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ãàðìîíè÷åñêîé
âîëíû çàâèñèò îò åå ÷àñòîòû). Ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âîëíû â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ñòåð-
æíÿ âäîëü îñåé x 2 è x 3 àíàëîãè÷íî ðàñïðåäåëåíèþ àìïëèòóäû äëÿ øíóðà äëèíîé L ñî
ñâîáîäíûìè êîíöàìè ïðè íîðìàëüíîì êîëåáàíèè. Ñòåðæåíü â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåò ðîëü
âîëíîâîäà. Ïðè åãî ïëàâíîì èçãèáàíèè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü åãî îñè.
        Ïðîäîëüíûå âîëíû ïåðåíîñÿò ýíåðãèþ, è äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâû âñå ðàññóæäåíèÿ
è âûâîäû, ïîëó÷åííûå äëÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí. Ôîðìàëüíî âî âñå âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíî-
ñòè ýíåðãèè w, âåêòîðà Óìîâà J è äð. ñëåäóåò âìåñòî ìîäóëÿ ñäâèãà G ïîäñòàâèòü ìîäóëü
Þíãà Å èëè E ⋅ f (µ) . Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.

Страницы