Колебания и волны. Алешкевич В.А - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

85
Ëåêöèÿ 4
Ñïóñòÿ íåêîòîðîå âðåìÿ t ïîñëå óäàðà ïî òîðöó ñòåðæíÿ (èëè ïîñëå ðåçêîãî îòòÿãèâà-
íèÿ ýòîãî òîðöà) ðàñïðåäåëåíèå ñìåùåíèé s, äåôîðìàöèé ε è âîçìóùåíèé ïëîòíîñòè
δρ
â
áåãóùèõ èìïóëüñàõ ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿ áóäóò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 4.25. Ïóíêòè-
ðîì ïîêàçàíû ðàñïðåäåëåíèÿ âñåõ âåëè÷èí â îäèí èç ïîñëåäóþùèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.
Óðàâíåíèå âîëíû, áåãóùåé âäîëü îñè Oõ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååò âèä
)./(),( cxtstxs −=
Ïî àíàëîãèè ñ (4.54) äåôîðìàöèÿ
xs ∂∂=ε /
è êîëåáàòåëüíàÿ ñêîðîñòü
ts ∂∂= /v
ýëåìåíòà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
t
s
cx
s
∂
∂
−=
∂
∂ 1
, èëè
c
v
−=ε
. (4.73)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â èìïóëüñå ñæàòèÿ
)0( <ε
ñêîðîñòü
v ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñ, à â èìïóëüñå
ðàñòÿæåíèÿ îíè èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ.
Ðàññ÷èòàåì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîäîëü-
íûõ âîëí. Íà ðèñ. 4.26 èçîáðàæåí ôðàãìåíò ñòåðæíÿ è
ïîêàçàí åãî ýëåìåíò dx, ê êîíöàì êîòîðîãî ïðèëîæåíû
íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ
n
σ . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëå-
ìåíòà ñ ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì ðàâíûì S èìååò âèä:
ddm
s
t
S x xt xt
nn
∂
∂
σσ
2
2
=+−[( ,) (,)]
, (4.74)
ãäå
xSm dd
0
ρ=
. ×òîáû (4.74) ïðåîáðàçîâàòü ê âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, íåîáõîäèìî ñâÿ-
çàòü íàïðÿæåíèÿ
n
σ ñ äåôîðìàöèÿìè ýëåìåíòîâ ñòåðæíÿ. Íàèáîëåå ïðîñòî ýòî ìîæíî
ñäåëàòü äëÿ òîíêîãî ñòåðæíÿ.
Ñêîðîñòü âîëí â òîíêîì ñòåðæíå. Åñëè ñòåðæåíü òîíêèé, òî äåôîðìàöèè è
íàïðÿæåíèÿ âäîëü êîîðäèíàòû õ ñâÿçàíû èçâåñòíûì çàêîíîì Ãóêà:
;),(
x
n
x
s
Etx
∂
∂
=σ
xx
n
x
s
Etxx
d
),d(
+
∂
∂
=+σ
, (4.75)
ãäå Å  ìîäóëü Þíãà.
Ïîäñòàâëÿÿ (4.75) â (4.74) è ïðîèçâîäÿ äåëåíèå íà
xSd
0
ρ
, ïîëó÷àåì âîëíî-
âîå óðàâíåíèå:
.
2
2
0
2
2
x
sE
t
s
∂
∂
ρ
=
∂
∂
(4.76)
Ñêîðîñòü ïðîäîëüíûõ âîëí ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
.
0
ρ
=
E
c
(4.77)
Ýòà ñêîðîñòü ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ïîïåðå÷íûõ âîëí (ñì. ôîðìóëó (4.49)), ïî-
ñêîëüêó
.GE >
Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû îáå ñêîðîñòè ñîâïàäàþò è äëÿ ðàçëè÷íûõ ìàòåðè-
àëîâ ïðåèìóùåñòâåííî ëåæàò â äèàïàçîíå
)1010(~
43
÷c
ì/c.
Ðèñ. 4.26.
s
n
(,)xt s
n
(+d,)xxt
xx+ x
dx
Ëåêöèÿ 4                                                                                                              85
        Ñïóñòÿ íåêîòîðîå âðåìÿ t ïîñëå óäàðà ïî òîðöó ñòåðæíÿ (èëè ïîñëå ðåçêîãî îòòÿãèâà-
íèÿ ýòîãî òîðöà) ðàñïðåäåëåíèå ñìåùåíèé s, äåôîðìàöèé ε è âîçìóùåíèé ïëîòíîñòè δρ â
áåãóùèõ èìïóëüñàõ ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿ áóäóò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 4.25. Ïóíêòè-
ðîì ïîêàçàíû ðàñïðåäåëåíèÿ âñåõ âåëè÷èí â îäèí èç ïîñëåäóþùèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.
        Óðàâíåíèå âîëíû, áåãóùåé âäîëü îñè Oõ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååò âèä
s ( x, t ) = s (t − x / c ). Ïî àíàëîãèè ñ (4.54) äåôîðìàöèÿ ε = ∂s / ∂x è êîëåáàòåëüíàÿ ñêîðîñòü
v = ∂s / ∂t ýëåìåíòà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
                                 ∂s     1 ∂s            v
                                    =−       , èëè ε = − .                                                          (4.73)
                                 ∂x     c ∂t             c
          Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â èìïóëüñå ñæàòèÿ (ε < 0) ñêîðîñòü
v ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñ, à â èìïóëüñå                              sn(x,t)                   sn(x +dx,t)
ðàñòÿæåíèÿ îíè èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ.
        Ðàññ÷èòàåì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîäîëü-
íûõ âîëí. Íà ðèñ. 4.26 èçîáðàæåí ôðàãìåíò ñòåðæíÿ è
ïîêàçàí åãî ýëåìåíò dx, ê êîíöàì êîòîðîãî ïðèëîæåíû                                                   x    x + dx     x
íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ σ n . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëå-                                                   Ðèñ. 4.26.
ìåíòà ñ ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì ðàâíûì S èìååò âèä:
                                   ∂2 s
                              dm    = S [ σ n ( x + dx , t ) − σ n ( x , t )] , (4.74)
                               ∂t 2
ãäå dm = ρ 0 Sdx . ×òîáû (4.74) ïðåîáðàçîâàòü ê âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, íåîáõîäèìî ñâÿ-
çàòü íàïðÿæåíèÿ σ n ñ äåôîðìàöèÿìè ýëåìåíòîâ ñòåðæíÿ. Íàèáîëåå ïðîñòî ýòî ìîæíî
ñäåëàòü äëÿ òîíêîãî ñòåðæíÿ.


       Ñêîðîñòü âîëí â òîíêîì ñòåðæíå. Åñëè ñòåðæåíü òîíêèé, òî äåôîðìàöèè è
íàïðÿæåíèÿ âäîëü êîîðäèíàòû õ ñâÿçàíû èçâåñòíûì çàêîíîì Ãóêà:

                                        ∂s                                          ∂s
                     σ n ( x, t ) = E        ;             σ n ( x + d x, t ) = E                 ,                 (4.75)
                                        ∂x x                                        ∂x   x + dx
ãäå Å — ìîäóëü Þíãà.
        Ïîäñòàâëÿÿ (4.75) â (4.74) è ïðîèçâîäÿ äåëåíèå íà ρ 0 Sdx , ïîëó÷àåì âîëíî-
âîå óðàâíåíèå:

                                       E ∂2s     ∂2s
                                               .       =                                                            (4.76)
                                 ∂t 2 ρ 0 ∂x 2
        Ñêîðîñòü ïðîäîëüíûõ âîëí ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
                                         E
                                           .       c=                     (4.77)
                                        ρ0
        Ýòà ñêîðîñòü ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ïîïåðå÷íûõ âîëí (ñì. ôîðìóëó (4.49)), ïî-
ñêîëüêó E > G. Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû îáå ñêîðîñòè ñîâïàäàþò è äëÿ ðàçëè÷íûõ ìàòåðè-
àëîâ ïðåèìóùåñòâåííî ëåæàò â äèàïàçîíå c ~ (10 3 ÷ 10 4 ) ì/c.

Страницы