Колебания и волны. Алешкевич В.А - 67 стр.

66                                                                          Êîëåáàíèÿ è âîëíû

                M
                                        lp                                     cp
                     s0                                               s0
         0                            s0                                                   x

                                              l
                                        Ðèñ. 4.4.
ðåê» íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ (îñè Oõ), òî âîëíà íàçûâàåòñÿ ïîïåðå÷íîé. Ýòà âîëíà
äîáåæèò äî ïðàâîãî çàêðåïëåííîãî êîíöà øíóðà è îòðàçèòñÿ. Ïîñëå ýòîãî áóäóò ñóùåñòâî-
âàòü äâå âîëíû: èñõîäíàÿ áåãóùàÿ (èíîãäà åå íàçûâàþò ïàäàþùåé âîëíîé) è îòðàæåííàÿ âîë-
íà, êîòîðàÿ áåæèò íàâñòðå÷ó ïàäàþùåé. Ñïóñòÿ âðåìÿ ∆t = 2l / c p îòðàæåííàÿ âîëíà äîñòèã-
íåò ëåâîãî êîíöà, ñíîâà îòðàçèòñÿ, è «ñôîðìèðóåòñÿ» ìîäà êîëåáàíèé. Êîíôèãóðàöèÿ ýòîé
ìîäû çàäàåòñÿ âîëíîâûì ÷èñëîì k p (ñì. ñîîòíîøåíèå (4.1)).
         Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïàäàþùóþ âîëíó ñ ýòèì k p . Ïðîñòðàíñòâåííûé ïåðèîä λ p ,
èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 4.4 êàê ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ìàññàìè, êîëåáëþùèìèñÿ â
ôàçå, íàçûâàåòñÿ äëèíîé âîëíû. Äëèíà âîëíû ñâÿçàíà ñ âîëíîâûì ÷èñëîì k p ñîîòíîøåíèåì:
                                           k p = 2π / λ p .                              (4.9)
        Åñëè ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííûå ê êàæäîìó èç ãðóçîâ, ìàëû, òî àìïëèòóäû
êîëåáàíèé âñåõ ãðóçîâ áóäóò îäèíàêîâû è ðàâíû s 0 . Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü óðàâíåíèå
áåãóùåé âîëíû — óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ñìåùåíèå ëþáîé èç ìàññ â ïðîèçâîëüíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè. Äëÿ ÷àñòîòû ω p , âîëíîâîãî ÷èñëà k p è àìïëèòóäû s 0 îíî èìååò âèä:
                             s p ( x n , t ) = s 0 sin(ω p t − k p x n );
                                                                                (4.10)
                             x n = a; 2a; ...; na; ...; Na.
        Âûðàæåíèå ϕ = ω p t − k p xn íàçûâàåòñÿ ôàçîé âîëíû. Óðàâíåíèå (4.10) îòðàæàåò
òîò ôàêò, ÷òî âñå ìàññû êîëåáëþòñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé ω p , èìåþò îäèíàêîâóþ àìï-
ëèòóäó s 0 , îäíàêî ýòè êîëåáàíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ ïî ôàçå ϕ .
       Îïðåäåëèì òåïåðü ñêîðîñòü c p äâèæåíèÿ ýòîé âîëíû. Äëÿ ýòîãî ïðîñëåäèì çà äâèæå-
íèåì ãðåáíÿ âîëíû, âåðøèíà êîòîðîãî â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòñÿ â òî÷êå Ì. Ïóñòü
çà âðåìÿ ∆t ýòîò ãðåáåíü ñìåñòèòñÿ íà ðàññòîÿíèå ∆x n >> a . Ïîñêîëüêó íà âåðøèíå ãðåáíÿ
ìàññû èìåþò ìàêñèìàëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ñìåùåíèå, òî ôàçà èõ êîëåáàíèé ïîñòîÿííà è ðàâíà
                                                   π
                                  ω p t − k p xn = .                            (4.11)
                                                   2
        Ïîýòîìó
                                ω p ∆ t − k p ∆x n = 0 .                        (4.12)
        Îòñþäà ñêîðîñòü c p ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
                                  ∆x    ωp
                             cp = n =       = νp ⋅λp .                                  (4.13)
                                   ∆t   kp
        Ñêîðîñòü c p íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû ñ ÷àñòîòîé
ω p = 2πν p . Ïðîàíàëèçèðóåì çàâèñèìîñòü ýòîé ñêîðîñòè îò âîëíîâîãî ÷èñëà, ïîëüçóÿñü
äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì (4.1). Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì åãî ñ ó÷åòîì (4.4) â âèäå: