Колебания и волны. Алешкевич В.А - 65 стр.

UptoLike

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
64
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïðè íàëè÷èè ìíîãèõ ÷àñòîò â
ñïåêòðå êîëåáàíèé, äàâàåìûõ ôîðìóëîé (4.1), áèåíèÿ
íå áóäóò ïåðèîäè÷åñêèìè  íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ
íå ïîâòîðÿåòñÿ. Âèçóàëüíî ýòî áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ â èñ-
êàæåíèè ôîðìû áåãóùèõ èìïóëüñîâ, åñëè äëèíà èì-
ïóëüñà l
è
a (èìïóëüñ «íàêðûâàåò» ìàëî ÷àñòèö), à
øíóð äîñòàòî÷íî äëèííûé. Ãîâîðÿò, ÷òî èñêàæåíèå èì-
ïóëüñà ñâÿçàíî ñ äèñïåðñèåé «ñðåäû» (øíóðà ñ ìàññà-
ìè), ïî êîòîðîé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ.
Ýòî èñêàæåíèå áóäåò íè÷òîæíûì, åñëè
a>>
è
l
(ãðóïïà ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà êîëåá-
ëþùèõñÿ ìàññ). Òàê îáû÷íî è ïðîèñõîäèò ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîçìóùåíèé â òâåðäîì
òåëå, ãäå
10
10~a
ì (ðàññòîÿíèå ìåæäó óçëàìè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, îêîëî êîòî-
ðûõ êîëåáëþòñÿ àòîìû).
Åñëè
a>>
è
l
, òî â ñïåêòðå êîëåáàíèé äîìèíèðóþò íèçøèå ìîäû, êîòîðûå õàðàê-
òåðèçóþòñÿ âîëíîâûìè ÷èñëàìè kp, ãäå p=I, II, III, ... << N. ×àñòîòû ýòèõ ìîä ïîëó÷àþòñÿ èç
ôîðìóëû (4.1):
... ,III II, I, ;
1
=
+
π
==ω
pp
N
a
pp
k
(4.2)
Çäåñü èñïîëüçîâàíî ïðèáëèæåíèå
xx sin
ïðè
1<<x
. Ýòà çàâèñèìîñòü
)(
pp
kω
èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.2.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî íèçøèå ÷àñòîòû ðàñïîëàãàþòñÿ ýêâèäèñòàíòíî:
...
IIIIIIII
=ωω=ωω=ω Ïîýòîìó ïåðèîä áèåíèé (ñì. òàêæå ôîðìóëó (3.14)) ïîëó-
÷àåòñÿ ðàâíûì:
+
=
ω
π
=
)1(22 N
t
. (4.3)
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî äëèíà øíóðà l = a(N + 1), òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èìïóëüñà â
ñðåäå áåç äèñïåðñèè ðàâíà:
m
Fa
a
t
c ==
=
l2
0
. (4.4)
Åñëè ìû áóäåì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî ìàññ N íà øíóðå ôèêñèðîâàííîé äëèíû, òåì
ñàìûì óìåíüøàÿ ðàññòîÿíèå à, òî ìû ñäåëàåì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê íåïðåðûâíîìó ðàñ-
ïðåäåëåíèþ ìàññ  ò.å. ê îäíîðîäíîìó âåñîìîìó øíóðó, ïðè ýòîì
am /
1
=ρ (4.5)
ÿâëÿåòñÿ ìàññîé åäèíèöû äëèíû îäíîðîäíîãî øíóðà (èíîãäà óïîòðåáëÿþò òåðìèí
«ïëîòíîñòü åäèíèöû äëèíû»). Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
èìïóëüñà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ïî øíóðó èìååì
1
0
ρ
=
F
c
. (4.6)
Ðèñ. 4.2.
k
I
k
II
k
III
w
I
w
II
w
III
k
w
0
64                                                                    Êîëåáàíèÿ è âîëíû
w                                                     Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïðè íàëè÷èè ìíîãèõ ÷àñòîò â
                                         ñïåêòðå êîëåáàíèé, äàâàåìûõ ôîðìóëîé (4.1), áèåíèÿ
wIII                                     íå áóäóò ïåðèîäè÷åñêèìè — íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ
                                         íå ïîâòîðÿåòñÿ. Âèçóàëüíî ýòî áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ â èñ-
wII                                      êàæåíèè ôîðìû áåãóùèõ èìïóëüñîâ, åñëè äëèíà èì-
                                         ïóëüñà lè a (èìïóëüñ «íàêðûâàåò» ìàëî ÷àñòèö), à
wI                                       øíóð äîñòàòî÷íî äëèííûé. Ãîâîðÿò, ÷òî èñêàæåíèå èì-
                                         ïóëüñà ñâÿçàíî ñ äèñïåðñèåé «ñðåäû» (øíóðà ñ ìàññà-
                                         ìè), ïî êîòîðîé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ.
0         kI        k II   k III    k                 Ýòî èñêàæåíèå áóäåò íè÷òîæíûì, åñëè
               Ðèñ. 4.2.                  l è >> a (ãðóïïà ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà êîëåá-
ëþùèõñÿ ìàññ). Òàê îáû÷íî è ïðîèñõîäèò ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîçìóùåíèé â òâåðäîì
òåëå, ãäå a ~ 10 −10 ì (ðàññòîÿíèå ìåæäó óçëàìè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, îêîëî êîòî-
ðûõ êîëåáëþòñÿ àòîìû).
        Åñëè l è >> a , òî â ñïåêòðå êîëåáàíèé äîìèíèðóþò íèçøèå ìîäû, êîòîðûå õàðàê-
òåðèçóþòñÿ âîëíîâûìè ÷èñëàìè kp, ãäå p = I, II, III, ... << N. ×àñòîòû ýòèõ ìîä ïîëó÷àþòñÿ èç
ôîðìóëû (4.1):
                                Ωπ                                       (4.2)
                             ω p = Ωak p =
                                     ⋅ p; p = I, II, III, ...
                               N +1
Çäåñü èñïîëüçîâàíî ïðèáëèæåíèå sin x ≈ x ïðè x << 1 . Ýòà çàâèñèìîñòü ω p ( k p )
èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.2.
        Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî íèçøèå ÷àñòîòû ðàñïîëàãàþòñÿ ýêâèäèñòàíòíî:
∆ω = ω II − ω I = ω III − ω II = ... Ïîýòîìó ïåðèîä áèåíèé (ñì. òàêæå ôîðìóëó (3.14)) ïîëó-
÷àåòñÿ ðàâíûì:
                                    2π 2( N + 1)
                                        ∆t =
                                        =          .                         (4.3)
                                   ∆ω        Ω
        Åñëè ó÷åñòü, ÷òî äëèíà øíóðà l = a(N + 1), òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èìïóëüñà â
ñðåäå áåç äèñïåðñèè ðàâíà:
                                   2l          Fa
                                        c0 =
                                      = aΩ =      .                        (4.4)
                                   ∆t          m
        Åñëè ìû áóäåì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî ìàññ N íà øíóðå ôèêñèðîâàííîé äëèíû, òåì
ñàìûì óìåíüøàÿ ðàññòîÿíèå à, òî ìû ñäåëàåì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê íåïðåðûâíîìó ðàñ-
ïðåäåëåíèþ ìàññ — ò.å. ê îäíîðîäíîìó âåñîìîìó øíóðó, ïðè ýòîì
                                               ρ1 = m / a                                  (4.5)
ÿâëÿåòñÿ ìàññîé åäèíèöû äëèíû îäíîðîäíîãî øíóðà (èíîãäà óïîòðåáëÿþò òåðìèí
«ïëîòíîñòü åäèíèöû äëèíû»). Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
èìïóëüñà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ïî øíóðó èìååì
                                                       F
                                               c0 =       .                                (4.6)
                                                       ρ1