Колебания и волны. Алешкевич В.А - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

55
Ëåêöèÿ 3
×åòûðå âåëè÷èíû
I0201
, ,
ϕξξ
è
II
ϕ îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé:
)0(
1
=ts ,
)0(
2
=ts ,
)0(
1
=ts
&
,
)0(
2
=ts
&
.
Ïðîèëëþñòðèðîâàâ ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì, âåðíåìñÿ ê ìåòîäèêå
àíàëèçà êîëåáàíèé â ïðîèçâîëüíûõ ñèñòåìàõ, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè (3.21).
Ïóñòü â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ñ íåèçâåñòíîé ïîêà ÷àñòî-
òîé
ω
è êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä
01
02
s
s
=ς
:
),sin()(
011
ϕ+ω= tsts
)sin()(
022
ϕ+ω= tsts . (3.27)
Ïîäñòàâèì (3.27) â ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.21). Òîãäà ïîëó÷èì ñèñòåìó èç äâóõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
.0)(
;0)(
02
22
2012
02101
22
1
=ω−ω+α
=α+ω−ω
ss
ss
(3.28)
Ñèñòåìà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (3.28) èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ ðåøå-
íèÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:
.0))((
21
22
2
22
1
22
22
1
22
1
=α⋅α−ω−ωω−ω=
ω−ωα
αω−ω
(3.29)
Ýòî  êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî
2
ω , ïðè÷åì
0>ω
. Ïîýòîìó, ðåøàÿ
óðàâíåíèå (3.29), ìîæíî íàéòè íîðìàëüíûå ÷àñòîòû
I
ω è
II
ω . Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ÷àñòîò
íå ñîñòàâëÿåò òðóäà íàéòè êîíôèãóðàöèþ ìîä, ò.å. êîýôôèöèåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëè-
òóä
I
ς è
II
ς . Èõ ìîæíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (3.28), ïðè÷åì î÷å-
âèäíî, ÷òî äëÿ êàæäîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû (
I
ω
èëè
II
ω
) ýòè êîýôôèöèåíòû ðàçëè÷íû:
1
2
1
2
I
I
01
02
I
α
ω−ω
=
=ς
s
s
,
1
2
1
2
II
II
01
02
II
α
ω−ω
=
=ς
s
s
. (3.30)
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (3.29) è ðàâåíñòâî (3.30) ïîçâîëÿþò ïîëíîñòüþ ðàñ-
ñ÷èòàòü ïàðàìåòðû êàæäîé èç äâóõ ìîä. Äâèæåíèå êàæäîé èç ìàññ, êàê óæå íåîäíîêðàò-
íî îòìå÷àëîñü, ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé:
)sin()sin()(
IIII01II011
III
ϕ+ω+ϕ+ω= tststs
,
)sin()sin()(
IIII01IIII01I2
III
ϕ+ω⋅ς+ϕ+ω⋅ς=
tststs
,
ãäå àìïëèòóäû
I
01
s
è
II
01
s
è íà÷àëüíûå ôàçû
I
ϕ
è
II
ϕ
îïðåäåëÿþòñÿ, êàê è ðàíüøå, èç
íà÷àëüíûõ óñëîâèé:
)0(
1
s
,
)0(
2
s
,
)0(
1
s
&
,
)0(
2
s
&
.
Ðàñ÷åò ìîä äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äâóõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ÷èòàòåëü ìîæåò
ïðîäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðöèàëüíûìè è íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè. Äëÿ óñòà-
íîâëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó ïàðöèàëüíûìè è íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè ïåðåïèøåì (3.29) â âèäå
0))((
2
2
2
1
222
2
22
1
=ωωγ−ω−ωω−ω
, (3.31)
ãäå
))((
21
2
2
2
2
1
21
kkkk
k
′
+
′
+
′
=
ωω
αα
=γ
. (3.32)
Ëåêöèÿ 3                                                                                             55
          ×åòûðå âåëè÷èíû ξ 01 , ξ 02 , ϕ I è ϕ II îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé:
s1 (t = 0) , s 2 (t = 0) , s&1 (t = 0) , s&2 (t = 0) .
        Ïðîèëëþñòðèðîâàâ ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì, âåðíåìñÿ ê ìåòîäèêå
àíàëèçà êîëåáàíèé â ïðîèçâîëüíûõ ñèñòåìàõ, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè (3.21).
        Ïóñòü â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ñ íåèçâåñòíîé ïîêà ÷àñòî-
                                                                  s
òîé ω è êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ς = 02 :
                                                                  s01
                     s1 (t ) = s 01 sin(ωt + ϕ), s 2 (t ) = s 02 sin(ωt + ϕ) . (3.27)
        Ïîäñòàâèì (3.27) â ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.21). Òîãäà ïîëó÷èì ñèñòåìó èç äâóõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
                                     (ω12 − ω 2 ) s 01 + α1 s 02 = 0;
                                                                           (3.28)
                            α 2 s 01 + (ω 22 − ω 2 ) s 02 = 0.
        Ñèñòåìà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (3.28) èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ ðåøå-
íèÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:
                 ω12 − ω 2         α1
                                             = (ω12 − ω 2 )(ω 22 − ω 2 ) − α1 ⋅ α 2 = 0.           (3.29)
                    α2         ω 22 − ω 2
       Ýòî — êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ω 2 , ïðè÷åì ω > 0 . Ïîýòîìó, ðåøàÿ
óðàâíåíèå (3.29), ìîæíî íàéòè íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ω I è ω II . Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ÷àñòîò
íå ñîñòàâëÿåò òðóäà íàéòè êîíôèãóðàöèþ ìîä, ò.å. êîýôôèöèåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëè-
òóä ς I è ς II . Èõ ìîæíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (3.28), ïðè÷åì î÷å-
âèäíî, ÷òî äëÿ êàæäîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòû ( ω I èëè ω II ) ýòè êîýôôèöèåíòû ðàçëè÷íû:
                    s        ω 2 − ω12              s         ω 2 − ω12
             ς I =  02  = I          ,    ς II =  02  = II          . (3.30)
                     s 01  I    α1                   s 01  II    α1
        Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (3.29) è ðàâåíñòâî (3.30) ïîçâîëÿþò ïîëíîñòüþ ðàñ-
ñ÷èòàòü ïàðàìåòðû êàæäîé èç äâóõ ìîä. Äâèæåíèå êàæäîé èç ìàññ, êàê óæå íåîäíîêðàò-
íî îòìå÷àëîñü, ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé:
                     s1 (t ) = s 01I sin(ω I t + ϕ I ) + s 01II sin(ω II t + ϕ II ) ,
                  s 2 (t ) = ς I ⋅ s 01I sin(ω I t + ϕ I ) + ς II ⋅ s 01II sin(ω II t + ϕ II ) ,
ãäå àìïëèòóäû s 01I è s 01II è íà÷àëüíûå ôàçû ϕ I è ϕ II îïðåäåëÿþòñÿ, êàê è ðàíüøå, èç
íà÷àëüíûõ óñëîâèé: s1 (0) , s 2 (0) , s&1 (0) , s&2 (0) .
       Ðàñ÷åò ìîä äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äâóõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ÷èòàòåëü ìîæåò
ïðîäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.


       Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðöèàëüíûìè è íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè. Äëÿ óñòà-
íîâëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó ïàðöèàëüíûìè è íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè ïåðåïèøåì (3.29) â âèäå
                               (ω12 − ω 2 )(ω 22 − ω 2 ) − γ 2 ω12 ω 22 = 0 ,                      (3.31)
ãäå
                                        α 1α 2                  k ′2
                                  γ=               =                          .                    (3.32)
                                        ω12 ω 22       ( k1 + k ′)(k 2 + k ′)

Страницы