Колебания и волны. Алешкевич В.А - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
50
.
21
m
kk
′
+
=ω=ω
(3.7)
Åñëè îáà ãðóçà ñìåñòèòü âïðàâî íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ
I
02
I
01
ss =
, òî ñðåäíÿÿ
ïðóæèíà
k
′
(ïðóæèíà ñâÿçè) íå áóäåò äåôîðìèðîâàíà (ïîçèöèÿ á). Ïîñëå îòïóñêàíèÿ
ïðóæèíà áóäåò îñòàâàòüñÿ íåäåôîðìèðîâàííîé. Ïîýòîìó êàæäûé èç ãðóçîâ áóäåò ñîâåð-
øàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé
m
k
=ω
I
, (3.8)
êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé. Êîíôèãóðàöèÿ ýòîãî ñèíôàçíîãî êîëå-
áàíèÿ (ìîäû) çàäàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä
1
I
+=ς .
Åñëè òåïåðü îáå ìàññû
ñìåñòèòü â ðàçíûå ñòîðîíû íà îäè-
íàêîâûå ðàññòîÿíèÿ
II
01
II
02
ss
−=
(ïîçèöèÿ â), òî ïðóæèíà
k
′
óäëè-
íèòñÿ íà âåëè÷èíó
II
02
2
s
. Ïîýòîìó
ê ïðàâîé ìàññå áóäåò ïðèëîæåíà
âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ
)2(
II
02
II
02
skks
′
+−
, à íà ëåâóþ ìàñ-
ñó áóäåò äåéñòâîâàòü â ïðîòèâî-
ïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ñèëà
)2(
II
01
II
01
skks
′
+−
. Ïîñëå îòïóñêà-
íèÿ ãðóçû áóäóò ñîâåðøàòü ïðî-
òèâîôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êî-
ëåáàíèÿ ñî âòîðîé íîðìàëüíîé
÷àñòîòîé
m
kk
′
+
=ω
2
II
. (3.9)
Êîíôèãóðàöèÿ âòîðîé ìîäû õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëå-
íèÿ ς
II
= 1.
Åñëè ãðóçû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 3.5à, ñìåñòèòü íà ïðîèçâîëüíûå ðàññòîÿíèÿ
(íàïðèìåð, â îäíó ñòîðîíó íà âåëè÷èíû
01
s
è
02
s
, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.5á), òî
ýòî ýêâèâàëåíòíî ñóïåðïîçèöèè äâóõ òèïîâ íà÷àëüíûõ ñìåùåíèé: â îäíó ñòîðîíó íà îäè-
íàêîâûå âåëè÷èíû (ïîçèöèÿ â)
)(
2
1
0201
I
02
I
01
ssss
+==
; (3.10)
è â ðàçíûå ñòîðîíû (ïîçèöèÿ ã) íà âåëè÷èíû
)(
2
1
0102
II
02
II
01
ssss
−==−
. (3.11)
Ïîñêîëüêó êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíà, òî ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþ-
ùèå ïîñëå îòïóñêàíèÿ ãðóçîâ â ïîçèöèè (â), áóäóò ïðîèñõîäèòü íåçàâèñèìî îò ïðèñóòñòâèÿ
kk
¢
mm
s
0
21
s
0
02
s
01
s
II
01
s
I
02
s
01
s
02
s
I
II
k
à)
á)
â)
ã)
Ðèñ. 3.5.
50                                                                       Êîëåáàíèÿ è âîëíû

                                            k + k′
                                            ω1 = ω2 =
                                                   .                              (3.7)
                                              m
                                                                 I      I
       Åñëè îáà ãðóçà ñìåñòèòü âïðàâî íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ s 01 = s 02 , òî ñðåäíÿÿ
ïðóæèíà k ′ (ïðóæèíà ñâÿçè) íå áóäåò äåôîðìèðîâàíà (ïîçèöèÿ á). Ïîñëå îòïóñêàíèÿ
ïðóæèíà áóäåò îñòàâàòüñÿ íåäåôîðìèðîâàííîé. Ïîýòîìó êàæäûé èç ãðóçîâ áóäåò ñîâåð-
øàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé
                                           k
                                             ,    ωI =                       (3.8)
                                           m
êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé. Êîíôèãóðàöèÿ ýòîãî ñèíôàçíîãî êîëå-
áàíèÿ (ìîäû) çàäàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ς I = +1 .
                                                                           Åñëè òåïåðü îáå ìàññû
      k         m                k¢         m            k
                                                                  ñìåñòèòü â ðàçíûå ñòîðîíû íà îäè-
                                                                                          II     II
                                                                  íàêîâûå ðàññòîÿíèÿ s 02 = − s 01
à)               0              s1           0               s2   (ïîçèöèÿ â), òî ïðóæèíà k ′ óäëè-
                                                                                       II
                                                                  íèòñÿ íà âåëè÷èíó 2s 02 . Ïîýòîìó
                                                                  ê ïðàâîé ìàññå áóäåò ïðèëîæåíà
á)                   s01                          s02             âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ
                                                                        II         II
                                                                  − (ks 02 + 2k ′s 02 ) , à íà ëåâóþ ìàñ-
                                                                  ñó áóäåò äåéñòâîâàòü â ïðîòèâî-
â)                    s01I                       s02
                                                  I               ïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ñèëà
                                                                       II         II
                                                                  − (ks01 + 2k ′s 01 ) . Ïîñëå îòïóñêà-
                                                                  íèÿ ãðóçû áóäóò ñîâåðøàòü ïðî-
ã)              s01
                 II                           s02
                                               II                 òèâîôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êî-
                             Ðèñ. 3.5.                            ëåáàíèÿ ñî âòîðîé íîðìàëüíîé
                                                                  ÷àñòîòîé
                                       k + 2k ′
                                              ω II =
                                                .                      (3.9)
                                          m
          Êîíôèãóðàöèÿ âòîðîé ìîäû õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëå-
íèÿ ςII = –1.
          Åñëè ãðóçû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 3.5à, ñìåñòèòü íà ïðîèçâîëüíûå ðàññòîÿíèÿ
(íàïðèìåð, â îäíó ñòîðîíó íà âåëè÷èíû s 01 è s02 , êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.5á), òî
ýòî ýêâèâàëåíòíî ñóïåðïîçèöèè äâóõ òèïîâ íà÷àëüíûõ ñìåùåíèé: â îäíó ñòîðîíó íà îäè-
íàêîâûå âåëè÷èíû (ïîçèöèÿ â)
                                           I1     I
                                         s 01 = s 02 =
                                              ( s 01 + s 02 ) ;              (3.10)
                                            2
è â ðàçíûå ñòîðîíû (ïîçèöèÿ ã) íà âåëè÷èíû
                                 II     II   1
                             − s 01 = s 02 = ( s 02 − s 01 ) .               (3.11)
                                             2
        Ïîñêîëüêó êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíà, òî ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþ-
ùèå ïîñëå îòïóñêàíèÿ ãðóçîâ â ïîçèöèè (â), áóäóò ïðîèñõîäèòü íåçàâèñèìî îò ïðèñóòñòâèÿ

Страницы