Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
Ëåêöèÿ 1
ËÅÊÖÈß 1
Äåôîðìàöèè òâåðäîãî òåëà. Ïîíÿòèå î òåíçîðå äåôîðìàöèé. Àáñîëþòíî
óïðóãîå òåëî è åãî äåôîðìàöèè. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà. Óïðóãèå íàïðÿæåíèÿ.
Ìîäóëè Þíãà è ñäâèãà. Äåôîðìàöèè ïðè èçãèáå è êðó÷åíèè. Óñòîé÷èâîñòü òåë
ïðè äåôîðìàöèÿõ. Ýíåðãèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé.
 ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðèëî-
æåííûõ ñèë â òåëå âîçíèêàþò äåôîðìàöèè, îäíàêî îíè íå ïðèíèìàëèñü â
ðàñ÷åò ïðè îïèñàíèè äâèæåíèÿ ýòîãî òåëà êàê öåëîãî.
Âî ìíîãèõ âàæíûõ ñëó÷àÿõ ó÷åò äåôîðìàöèé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì,
íàïðèìåð, êîãäà ðå÷ü èäåò î öåëîé îáëàñòè ôèçèêè  î ìåõàíèêå ñïëîøíîé
ñðåäû  èëè î ðàñ÷åòå ïðî÷íîñòè ìíîãî÷èñëåííûõ êîíñòðóêöèé è äåòàëåé
ìàøèí è ìåõàíèçìîâ, áàçèðóþùåìñÿ íà îòäåëüíîé èíæåíåðíîé íàóêå, íà-
çûâàåìîé ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ è ò.ä.
 ýòîé ëåêöèè ìû ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå òâåðäûõ òåë, êîòîðûå äå-
ôîðìèðóþòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë. Íàäî îòìåòèòü, ÷òî îñíîâíûå
ïîëîæåíèÿ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìûõ òâåðäûõ òåë, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê
ñïëîøíûå ñðåäû, áûëè ðàçðàáîòàíû â íà÷àëå XIX â. è ñîñòàâëÿþò îñíîâó
ñîâðåìåííîé òåîðèè óïðóãîñòè.
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë òåëà â òîé
èëè èíîé ñòåïåíè ìåíÿþò ñâîþ ôîðìó è îáúåì, ÷òî íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì
óðîâíå îçíà÷àåò îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå àòîìîâ, ñîñòàâëÿþùèõ òåëî. Äëÿ
óäîáñòâà îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé ìûñëåííî ðàçîáüåì òåëî íà ôèçè÷åñêè ìà-
ëûå îáúåìû (èíîãäà èõ áóäåì íàçûâàòü ÷àñòèöû), ñîäåðæàùèå, îäíàêî, áîëü-
øîå ÷èñëî àòîìîâ.  îòñóòñòâèå äåôîðìàöèé àòîìû íàõîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèè
òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ, à âñå ìàëûå îáúåìû  â ìåõàíè÷åñêîì ðàâíîâåñèè.
Òîãäà ñóììà ñèë è ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âûäåëåííûé îáúåì ñî
ñòîðîíû ïðèìûêàþùèõ ê íåìó äðóãèõ îáúåìîâ, áóäåò ðàâíà íóëþ. Èçìåíå-
íèÿ ïîëîæåíèé àòîìîâ ïðè äåôîðìàöèÿõ ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî â òåëå âîçíè-
êàþò âíóòðåííèå ñèëû, èëè âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ, ñòðåìÿùèåñÿ âåðíóòü
òåëî â ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî âíóòðåííèå ñèëû, êàê ñèëû ìîëåêóëÿðíîãî âçà-
èìîäåéñòâèÿ, ÿâëÿþòñÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèìè. Òîëüêî ñîñåäíèå àòîìû èëè
ìîëåêóëû ýôôåêòèâíî âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì. Ýòî óïðîùàåò ñèòóà-
öèþ, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìàëûé îáúåì,
ïðèëîæåíû ê îãðàíè÷èâàþùåé åãî ïîâåðõíîñòè.
Ýëåìåíòàðíûå äåôîðìàöèè. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.
Ïðè âñåì ìíîãîîáðàçèè ñëó÷àåâ ïðîèçâîëüíóþ äåôîðìàöèþ òåëà ìîæíî
ñâåñòè ê äâóì ýëåìåíòàðíûì äåôîðìàöèÿì  ðàñòÿæåíèþ (ñæàòèþ) è ñäâèãó.
Îáðàòèìñÿ ê îïûòó. Çàêðåïèì îäèí êîíåö ðåçèíîâîãî øíóðà äëèíîé
l
,
èìåþùåãî êâàäðàòíîå ñå÷åíèå, è ïîòÿíåì çà äðóãîé êîíåö ñ ïîñòîÿííîé ñèëîé.
Øíóð ïðèäåò â íîâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñ äëèíîé
ll
1
>
(ðèñ. 1.1). Òàêóþ
ïðîñòåéøóþ äåôîðìàöèþ ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü îòíîñèòåëüíûì óäëèíåíèåì
ε=
−ll
l
1
, (1.1)
Ïðè ýòîì ðàñòÿæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò
ε>0
, à ñæàòèþ 
ε<0
.
Ëåêöèÿ 1                                                                 5
                              ËÅÊÖÈß 1

       Äåôîðìàöèè òâåðäîãî òåëà. Ïîíÿòèå î òåíçîðå äåôîðìàöèé. Àáñîëþòíî
óïðóãîå òåëî è åãî äåôîðìàöèè. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà. Óïðóãèå íàïðÿæåíèÿ.
Ìîäóëè Þíãà è ñäâèãà. Äåôîðìàöèè ïðè èçãèáå è êðó÷åíèè. Óñòîé÷èâîñòü òåë
ïðè äåôîðìàöèÿõ. Ýíåðãèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé.

        Â ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðèëî-
æåííûõ ñèë â òåëå âîçíèêàþò äåôîðìàöèè, îäíàêî îíè íå ïðèíèìàëèñü â
ðàñ÷åò ïðè îïèñàíèè äâèæåíèÿ ýòîãî òåëà êàê öåëîãî.
        Âî ìíîãèõ âàæíûõ ñëó÷àÿõ ó÷åò äåôîðìàöèé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì,
íàïðèìåð, êîãäà ðå÷ü èäåò î öåëîé îáëàñòè ôèçèêè — î ìåõàíèêå ñïëîøíîé
ñðåäû — èëè î ðàñ÷åòå ïðî÷íîñòè ìíîãî÷èñëåííûõ êîíñòðóêöèé è äåòàëåé
ìàøèí è ìåõàíèçìîâ, áàçèðóþùåìñÿ íà îòäåëüíîé èíæåíåðíîé íàóêå, íà-
çûâàåìîé ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ è ò.ä.
        Â ýòîé ëåêöèè ìû ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå òâåðäûõ òåë, êîòîðûå äå-
ôîðìèðóþòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë. Íàäî îòìåòèòü, ÷òî îñíîâíûå
ïîëîæåíèÿ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìûõ òâåðäûõ òåë, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê
ñïëîøíûå ñðåäû, áûëè ðàçðàáîòàíû â íà÷àëå XIX â. è ñîñòàâëÿþò îñíîâó
ñîâðåìåííîé òåîðèè óïðóãîñòè.
        Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë òåëà â òîé
èëè èíîé ñòåïåíè ìåíÿþò ñâîþ ôîðìó è îáúåì, ÷òî íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì
óðîâíå îçíà÷àåò îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå àòîìîâ, ñîñòàâëÿþùèõ òåëî. Äëÿ
óäîáñòâà îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé ìûñëåííî ðàçîáüåì òåëî íà ôèçè÷åñêè ìà-
ëûå îáúåìû (èíîãäà èõ áóäåì íàçûâàòü ÷àñòèöû), ñîäåðæàùèå, îäíàêî, áîëü-
øîå ÷èñëî àòîìîâ.  îòñóòñòâèå äåôîðìàöèé àòîìû íàõîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèè
òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ, à âñå ìàëûå îáúåìû — â ìåõàíè÷åñêîì ðàâíîâåñèè.
Òîãäà ñóììà ñèë è ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âûäåëåííûé îáúåì ñî
ñòîðîíû ïðèìûêàþùèõ ê íåìó äðóãèõ îáúåìîâ, áóäåò ðàâíà íóëþ. Èçìåíå-
íèÿ ïîëîæåíèé àòîìîâ ïðè äåôîðìàöèÿõ ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî â òåëå âîçíè-
êàþò âíóòðåííèå ñèëû, èëè âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ, ñòðåìÿùèåñÿ âåðíóòü
òåëî â ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ.
        Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî âíóòðåííèå ñèëû, êàê ñèëû ìîëåêóëÿðíîãî âçà-
èìîäåéñòâèÿ, ÿâëÿþòñÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèìè. Òîëüêî ñîñåäíèå àòîìû èëè
ìîëåêóëû ýôôåêòèâíî âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì. Ýòî óïðîùàåò ñèòóà-
öèþ, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìàëûé îáúåì,
ïðèëîæåíû ê îãðàíè÷èâàþùåé åãî ïîâåðõíîñòè.

       Ýëåìåíòàðíûå äåôîðìàöèè. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.
       Ïðè âñåì ìíîãîîáðàçèè ñëó÷àåâ ïðîèçâîëüíóþ äåôîðìàöèþ òåëà ìîæíî
ñâåñòè ê äâóì ýëåìåíòàðíûì äåôîðìàöèÿì — ðàñòÿæåíèþ (ñæàòèþ) è ñäâèãó.
       Îáðàòèìñÿ ê îïûòó. Çàêðåïèì îäèí êîíåö ðåçèíîâîãî øíóðà äëèíîé l ,
èìåþùåãî êâàäðàòíîå ñå÷åíèå, è ïîòÿíåì çà äðóãîé êîíåö ñ ïîñòîÿííîé ñèëîé.
Øíóð ïðèäåò â íîâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñ äëèíîé l 1 > l (ðèñ. 1.1). Òàêóþ
ïðîñòåéøóþ äåôîðìàöèþ ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü îòíîñèòåëüíûì óäëèíåíèåì
                                           l1 − l
                                      ε=          ,                   (1.1)
                                              l
Ïðè ýòîì ðàñòÿæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ε > 0 , à ñæàòèþ — ε < 0 .

Страницы