Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 7 стр.

Ëåêöèÿ 1                                                                                               7
êîãäà ε è γ îêàçûâàëèñü îäíèìè è òåìè æå äëÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ îáúåìîâ
ðåçèíîâîãî øíóðà. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñèòóàöèÿ ãîðàçäî ñëîæíåå: ñ îäíîé ñòî-
ðîíû, äåôîðìàöèè ìåíÿþòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå (íåîäíîðîäíûå äåôîðìàöèè), à
ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíè íå ÿâëÿþòñÿ îäíîìåðíûìè. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî
äåôîðìàöèè â íåêîòîðîé òî÷êå P îïèñûâàþòñÿ òðåìÿ äåôîðìàöèÿìè ðàñòÿæå-
íèÿ ε 11 , ε 22 , ε 33 ìàëåíüêîãî êóáèêà ñ
òî÷êîé P âíóòðè (ðèñ. 1.3) è äâóìÿ                                         X3
ñäâèãàìè êàæäîé èç òðåõ ãðàíåé êóáè-
êà: γ 12 , γ 13 ; γ 21 , γ 23 ; γ 31 , γ 32 . Çäåñü
ïåðâûé èíäåêñ i îçíà÷àåò, ÷òî ãðàíü
êóáèêà ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè X i , âòî-
ðîé èíäåêñ j îçíà÷àåò, ÷òî ãðàíü ñìå-                                      P
ùàåòñÿ âäîëü îñè X j . Òàêèì îáðàçîì,
íåîäíîðîäíûå äåôîðìàöèè â êàæäîé                                    X2
òî÷êå òåëà â îáùåì ñëó÷àå õàðàêòåðè-
çóþòñÿ íàáîðîì äåâÿòè âåëè÷èí, ÿâ-
                                                0
ëÿþùèõñÿ ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò. Ýòè     X 1
äåâÿòü âåëè÷èí ñîñòàâëÿþò òåíçîð äå-
ôîðìàöèé, îäíàêî íåçàâèñèìû ëèøü                  Ðèñ. 1.3
øåñòü åãî âåëè÷èí.
        Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäðîáíåå ïîäõîä, èñïîëüçóåìûé äëÿ îïèñà-
íèÿ äåôîðìàöèè â íåêîòîðîé òî÷êå P è ïðèâîäÿùèé ê ïîíÿòèþ òåíçîðà
äåôîðìàöèé. Ïóñòü òåëî íàõîäèòñÿ â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè, è èçâå-
ñòíî ïîëîæåíèå êàæäîé èç åãî ÷àñòèö, çàäàííîå ðàäèóñ-âåêòîðîì r îòíîñè-
òåëüíî íåêîòîðîé ñèñòåìû êîîðäè-
íàò, êàê, íàïðèìåð, ïîëîæåíèå òî÷-
êè P íà ðèñ 1.4. Ïðè äåôîðìèðîâà-          X3
íèè âñå òî÷êè òåëà, âîîáùå ãîâîðÿ,                         dl´
ñìåùàþòñÿ. Ñìåùåíèå êàæäîé òî÷êè                               u´
ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü âåêòîðîì                     u    P
ñìåùåíèÿ u( x 1 , x 2 , x 3 ) , ÿâëÿþùèìñÿ                                           dl P´
ïðè íåîäíîðîäíûõ äåôîðìàöèÿõ ôóí-
êöèåé êîîðäèíàò. Îäíàêî äåôîðìàöèè                                              r
â òî÷êå áóäóò îïðåäåëåíû ëèøü òîã-
äà, êîãäà èçâåñòíî ñìåùåíèå ñîñåä-                                                                   X2
íèõ ñ òî÷êîé P ÷àñòèö òåëà. Òàêèì
îáðàçîì, çàäàíèå ñìåùåíèÿ âñåõ ÷à-                                     0
ñòèö òåëà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò åãî                    X1
äåôîðìàöèþ. Â ñàìîì äåëå, ðàññìîò-                                          Ðèñ. 1.4
ðèì äâå áåñêîíå÷íî áëèçêèå òî÷êè
P( x 1 , x 2 , x 3 ) è P ′( x 1 + dx 1 , x 2 + dx 2 , x 3 + dx 3 ) , èìåþùèå ñìåùåíèÿ u( x 1 , x 2 , x 3 )
è u ′ = u( x 1 + dx 1 , x 2 + dx 2 , x 3 + dx 3 ) . Èç ðèñóíêà íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åñëè
âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå òî÷åê â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè çàäàâàëîñü
ðàäèóñ-âåêòîðîì dl {dx 1 , dx 2 , dx 3 } , òî â ðåçóëüòàòå äåôîðìàöèé íîâîå âçàèì-
íîå ðàñïîëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì