Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 8 стр.

8                                                                    Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä

                                     dl ′ = dl + u ′ − u = dl + du .                      (1.7)
 ÷àñòíîñòè, åñëè u ′ = u , òî äåôîðìàöèè â òî÷êå P îòñóòñòâóþò.
       Äëÿ óäîáñòâà îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé âîçâåäåì (1.7) â êâàäðàò è áóäåì
îïåðèðîâàòü ñ ìîäóëÿìè âåêòîðîâ dl è dl ′ . Òîãäà
                            (dl ′ )2 = (dl)2 + 2dl ⋅ du + (du )2 . (1.8)
        ðàâåíñòâå (1.8) ïðåíåáðåæåì ïîñëåäíèì ÷ëåíîì â ïðàâîé ÷àñòè,
ïîñêîëüêó ñ÷èòàåì äåôîðìàöèè ìàëûìè ( du << dl ), à ïðîåêöèè âåêòîðà du
ïðåäñòàâèì â âèäå ñóìì
                                                      3
                                                            ∂u
                               ( du ) i   = du i =   ∑ ∂x i dx j ;       i = 1,2,3.       (1.9)
                                                     j =1        j

Âûðàæåíèå (1.9), ïî ñóùåñòâó, îïèñûâàåò ïðèðàùåíèå êàæäîé èç òðåõ ïðî-
åêöèé âåêòîðà ñìåùåíèÿ ïðè ïåðåõîäå èç òî÷êè P â òî÷êó P ′ è ñîäåðæèò òðè
ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ åñòü ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ui â
òî÷êå P íà ïðèðàùåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî àðãóìåíòà dxj.
       Ðàñïèñûâàÿ â (1.8) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â âèäå
                     dl ⋅ du = dx 1 du 1 + dx 2 du 2 + dx 3 du 3
è ïîäñòàâëÿÿ (1.9) â (1.8), ïîëó÷èì
                              3 3      ∂u i                        3 3
         (dl ′)2 = (dl)2 + 2 ∑ ∑            dx j dx i = (dl)2 + 2 ∑ ∑ U ij dx j dx i ,   (1.10)
                             i =1 j =1 ∂x j                      i =1 j = 1
ãäå, ïî îïðåäåëåíèþ,

                                                     1  ∂u i   ∂u j 
                                            U ij =           +                         (1.11)
                                                       
                                                     2  ∂x j   ∂x i 
— òåíçîð äåôîðìàöèé. Èç åãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ñèììåò-
ðè÷íûì òåíçîðîì (Uij= Uji).
       Äëÿ îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé â êàæäîé òî÷êå P ìîæíî âûáðàòü òàêóþ
ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé òîëüêî òðè äèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà
U11, U22 è U33 áóäóò îòëè÷íû îò íóëÿ. Êàê è â ñëó÷àå òåíçîðà èíåðöèè, äëÿ
êàæäîé òî÷êè òåëà P ñóùåñòâóþò ñâîè òðè ãëàâíûå îñè, îòíîñèòåëüíî êîòî-
ðûõ ôîðìóëà (1.10) èìååò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä:
                     (dl ′) 2 = (dl) 2 + 2U 11 dx 12 + 2U 22 dx 22 + 2U 33 dx 32 =
                     = dx 12 (1 + 2U 11 ) + dx 22 (1 + 2U 22 ) + dx 32 (1 + 2U 33 ) .    (1.12)
        êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì äåôîðìàöèþ ñäâèãà â ðåçèíîâîì
êóáå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 1.2. Äëÿ óäîáñòâà íàíåñåì íà åãî áîêîâóþ
ãðàíü ïðÿìîóãîëüíóþ ñåòêó, ðàçáèâàþùóþ ýòó ãðàíü íà ìàëåíüêèå êâàä-
ðàòèêè ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè åå äèàãîíàëÿì (ðèñ. 1.5à). Ïðè äå-
ôîðìàöèè êâàäðàòèêè ïðåâðàùàþòñÿ â ïðÿìîóãîëüíèêè (ðèñ. 1.5á). Åñëè
ïîä dl è dl ′ ïîíèìàòü äëèíû äèàãîíàëåé ýëåìåíòàðíûõ êâàäðàòèêà è
ïðÿìîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî, òî ýòè äëèíû ìîæíî ñâÿçàòü ôîðìóëîé
(1.12) òîëüêî â ñèñòåìå êîîðäèíàò, îñè êîòîðîé Õ 1 è Õ2 íàïðàâëåíû
âäîëü ðåáåð ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê (îñü Õ 3 ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åð-
òåæà).