Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9
Ëåêöèÿ 1
Îáîáùàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî ïðè ïðîèçâîëü-
íûõ äåôîðìàöèÿõ ãëàâíûå îñè â ëþáîé òî÷êå P äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû ïà-
ðàëëåëüíî ðåáðàì ýëåìåíòàðíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà, êîòîðûé ïðè
äåôîðìàöèè îñòàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåïèïåäîì. Äåôîðìàöèè ñäâèãà îò-
íîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé êîîðäèíàò îòñóòñòâóþò. Íèæå ìû óñòàíîâèì ñâÿçü
ìåæäó äåôîðìàöèÿìè ñäâèãà è íåäèàãîíàëüíûìè êîìïîíåíòàìè òåíçîðà äå-
ôîðìàöèé.
Âûÿñíèì äàëåå ôèçè÷åñêèé ñìûñë äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò U
11
, U
22
è U
33
. Îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå êàæäîãî ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíî ñîîò-
âåòñòâóþùåé äèàãîíàëüíîé êîìïîíåíòå òåíçîðà äåôîðìàöèé. Â ñàìîì äåëå,
ε
i
iiii
i
ii ii
dx U dx
dx
UU
=
+−
=+ −≈
12
12 1
. (1.13)
Ïóñòü â îêðåñòíîñòè òî÷êè P(x
1
,x
2
,x
3
) äåôîðìàöèè òàêîâû, ÷òî ïàðàë-
ëåëåïèïåä ñî ñòîðîíàìè dx
1
, dx
2
è dx
3
ïðåâðàùàåòñÿ â äðóãîé ïàðàëëåëåïèïåä.
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ðàññìîòðèì êàðòèíó äåôîðìàöèè â ïëîñêîñòè X
1
X
2
(ðèñ. 1.6à).
Ñìåùåíèÿ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà ïðè äåôîðìàöèè èçîáðàæåíû ñîîòâåò-
ñòâóþùèìè âåêòîðàìè. Äëèíû ïðÿìîóãîëüíèêà â íàïðàâëåíèè ãëàâíûõ îñåé
X
1
è X
2
èçìåíèëèñü äî âåëè÷èí
dx dx u x dx x u x x
dx dx u x x dx u x x
′= + + −
′
=+ + −
1 1 11 1 2 11 2
222122112
(,)(,),
(, ) (, ).
(1.14)
Èç (1.14) ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûå óäëèíåíèÿ:
ε
∂
∂
ε
∂
∂
1
11
1
11 1 2 112
1
1
1
11
2
22
2
212 2 212
2
2
2
22
=
′
−
=
+−
==
=
′
−
=
+−
==
dx dx
dx
u x dx dx u x x
dx
u
x
U
dx dx
dx
uxx dx uxx
dx
u
x
U
(,)(,)
,
(, ) (, )
.
(1.15)
Ñîîòíîøåíèå (1.13) ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü èçìåíåíèå ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà
ñ äèàãîíàëüíûìè êîìïîíåíòàìè òåíçîðà. Îáúåì ýëåìåíòàðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
dV dx dx dx dx dx dx U U U′= ′⋅ ′ ⋅ ′ = ⋅ ⋅ + + +
1 2 3 1 2 3 11 22 33
12 12 12 (1.16)
Ðèñ. 1.5
XX
1
2
dl
d
¢
l
àá
Ëåêöèÿ 1                                                                                        9
 X1                                     X2


                           dl                                                         dl ¢




                       à                                                         á
                                               Ðèñ. 1.5
        Îáîáùàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî ïðè ïðîèçâîëü-
íûõ äåôîðìàöèÿõ ãëàâíûå îñè â ëþáîé òî÷êå P äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû ïà-
ðàëëåëüíî ðåáðàì ýëåìåíòàðíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà, êîòîðûé ïðè
äåôîðìàöèè îñòàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåïèïåäîì. Äåôîðìàöèè ñäâèãà îò-
íîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé êîîðäèíàò îòñóòñòâóþò. Íèæå ìû óñòàíîâèì ñâÿçü
ìåæäó äåôîðìàöèÿìè ñäâèãà è íåäèàãîíàëüíûìè êîìïîíåíòàìè òåíçîðà äå-
ôîðìàöèé.
        Âûÿñíèì äàëåå ôèçè÷åñêèé ñìûñë äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò U11, U22
è U33. Îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå êàæäîãî ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíî ñîîò-
âåòñòâóþùåé äèàãîíàëüíîé êîìïîíåíòå òåíçîðà äåôîðìàöèé. Â ñàìîì äåëå,
                                  dx i 1 + 2U ii − dx i
                           εi =                              = 1 + 2U ii − 1 ≈ U ii .        (1.13)
                                           dx i
       Ïóñòü â îêðåñòíîñòè òî÷êè P(x1,x2,x3) äåôîðìàöèè òàêîâû, ÷òî ïàðàë-
ëåëåïèïåä ñî ñòîðîíàìè dx1, dx2 è dx3 ïðåâðàùàåòñÿ â äðóãîé ïàðàëëåëåïèïåä.
Äëÿ íàãëÿäíîñòè ðàññìîòðèì êàðòèíó äåôîðìàöèè â ïëîñêîñòè X1X2 (ðèñ. 1.6à).
Ñìåùåíèÿ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà ïðè äåôîðìàöèè èçîáðàæåíû ñîîòâåò-
ñòâóþùèìè âåêòîðàìè. Äëèíû ïðÿìîóãîëüíèêà â íàïðàâëåíèè ãëàâíûõ îñåé
X1 è X2 èçìåíèëèñü äî âåëè÷èí
                       dx 1′ = dx 1 + u 1 (x 1 + dx 1 , x 2 ) − u 1 ( x 1 , x 2 ),
                       dx 2′ = dx 2 + u 2 ( x 1 , x 2 + dx 2 ) − u 1 ( x 1 , x 2 ).          (1.14)

Èç (1.14) ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûå óäëèíåíèÿ:

                dx1′ − dx 1    u ( x + dx1 , dx 2 ) − u1 ( x1 , x 2 ) ∂u1
           ε1 =              = 1 1                                   =      = U11 ,
                    dx1                      dx1                       ∂x 1
                dx 2′ − dx 2    u ( x , x + dx 2 ) − u 2 ( x1 , x 2 ) ∂u 2                   (1.15)
           ε2 =               = 2 1 2                                =       = U 22 .
                     dx 2                     dx 2                     ∂x 2
        Ñîîòíîøåíèå (1.13) ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü èçìåíåíèå ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà
ñ äèàãîíàëüíûìè êîìïîíåíòàìè òåíçîðà. Îáúåì ýëåìåíòàðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
      dV ′ = dx 1′ ⋅ dx 2′ ⋅ dx 3′ = dx 1 ⋅ dx 2 ⋅ dx 3 1 + 2U 11 1 + 2U 22 1 + 2U 33        (1.16)

Страницы