Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
10
è òàêæå èçìåíÿåòñÿ ïðè äåôîðìàöèÿõ. Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ýòîãî
îáúåìà ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ (
U
ii
<< 1
), êàê ñëåäóåò èç (1.16), ðàâíî
dV dV
dV
UUU
′−
≈++
11 22 33
. (1.17)
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ñäâèãå îáúåì òåëà íå ìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó ïðè äå-
ôîðìàöèÿõ ñäâèãà ñóììà äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà äåôîðìàöèé (èíîãäà
óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ñëåä òåíçîðà»), ïðèâåäåííîãî ê ãëàâíûì îñÿì, ðàâíà íóëþ
(ñì. íèæå).
Ïîÿñíèì äàëåå ôèçè÷åñêèé ñìûñë íåäèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåí-
çîðà äåôîðìàöèé. Ïóñòü ïàðàëëåëåïèïåä èñïûòûâàåò äåôîðìàöèþ, â ðå-
çóëüòàòå êîòîðîé ïðÿìîóãîëüíèê íà ðèñ. 1.6 á ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðàëëå-
ëîãðàìì. Â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ìû îòâëåêàåìñÿ, êàê è ðàíåå, îò
ñìåùåíèÿ ÷àñòèö âäîëü îñè Õ
3
. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü óãëû α
1
è α
2
, íà êîòî-
ðûå ïîâåðíóëèñü ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà îòíîñèòåëüíî ñòîðîí ïðÿìî-
óãîëüíèêà. Îíè, î÷åâèäíî, ðàâíû
αα
∂
∂
11
21 12 212
1
2
1
≈=
+−
=
tg
ux dxx uxx
dx
u
x
(,)(,)
,
αα
∂
∂
22
11 2 2 11 2
2
1
2
≈=
+−
=
tg
uxx dx uxx
dx
u
x
(, ) (, )
.
Òîãäà óãîë ñäâèãà
aa a
=+ = + = =
12
1
2
2
1
12 21
22
u
x
u
x
UU.
Òàêèì îáðàçîì, íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé îïðåäå-
ëÿþò ñäâèãîâûå óãëû
α
â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïëîñêîñòÿõ.
Óïðóãèå òåëà.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ïðè äåôîðìàöèÿõ âîçíèêàþò âíóòðåííèå
íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå, â îáùåì ñëó÷àå, çàâèñÿò íå òîëüêî îò äåôîðìàöèé,
à
Ðèñ. 1.6
á
X
X
22
2
11
1
α
α
X
P
dx
dx
dx
´
dx
´
P´
X
2
1
1
2
10                                                           Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
è òàêæå èçìåíÿåòñÿ ïðè äåôîðìàöèÿõ. Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ýòîãî
îáúåìà ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ ( U ii << 1 ), êàê ñëåäóåò èç (1.16), ðàâíî

                               dV ′ − dV
                                          ≈ U 11 + U 22 + U 33 .        (1.17)
                                   dV
        Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ñäâèãå îáúåì òåëà íå ìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó ïðè äå-
ôîðìàöèÿõ ñäâèãà ñóììà äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà äåôîðìàöèé (èíîãäà
óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ñëåä òåíçîðà»), ïðèâåäåííîãî ê ãëàâíûì îñÿì, ðàâíà íóëþ
(ñì. íèæå).
        Ïîÿñíèì äàëåå ôèçè÷åñêèé ñìûñë íåäèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåí-
çîðà äåôîðìàöèé. Ïóñòü ïàðàëëåëåïèïåä èñïûòûâàåò äåôîðìàöèþ, â ðå-
çóëüòàòå êîòîðîé ïðÿìîóãîëüíèê íà ðèñ. 1.6 á ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðàëëå-

X2                                               X2

                            P´
                                                                     α2
         dx 2 dx´2
                     dx´1
          P                                                                    α1
                dx 1

                                       X1                                               X1

                       à                                                      á
                                           Ðèñ. 1.6
ëîãðàìì. Â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ìû îòâëåêàåìñÿ, êàê è ðàíåå, îò
ñìåùåíèÿ ÷àñòèö âäîëü îñè Õ3. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü óãëû α1 è α2 , íà êîòî-
ðûå ïîâåðíóëèñü ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà îòíîñèòåëüíî ñòîðîí ïðÿìî-
óãîëüíèêà. Îíè, î÷åâèäíî, ðàâíû
                                 u 2 ( x 1 + dx 1 , x 2 ) − u 2 ( x 1 , x 2 ) ∂u 2
              α 1 ≈ tgα 1 =                                                  =      ,
                                                    dx 1                       ∂x 1


                                 u 1 ( x 1 , x 2 + dx 2 ) − u 1 ( x 1 , x 2 ) ∂u 1
              α 2 ≈ tgα 2 =                                                  =      .
                                                    dx 2                       ∂x 2

Òîãäà óãîë ñäâèãà
                                               ¶u1 ¶u 2
                            a = a1 + a 2 =          +     = 2U12 = 2U 21.
                                               ¶x 2   ¶x1
Òàêèì îáðàçîì, íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé îïðåäå-
ëÿþò ñäâèãîâûå óãëû α â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïëîñêîñòÿõ.

      Óïðóãèå òåëà.
      Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ïðè äåôîðìàöèÿõ âîçíèêàþò âíóòðåííèå
íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå, â îáùåì ñëó÷àå, çàâèñÿò íå òîëüêî îò äåôîðìàöèé,

Страницы