Механика твердого тела - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

17
Ëåêöèÿ 1
Óñêîðåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè òâåðäîãî òåëà
a
v
r
r
== +
d
dt
d
dt
d
dt
w
w××
(1.24)
ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: óñêîðåíèÿ, ñâÿçàííîãî ñ íåðàâíîìåðíîñòüþ âðàùå-
íèÿ (èçìåíåíèåì w ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ)
arr
âð
==
d
dt
w
e××
,
(1.25)
è öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî (íîðìàëüíîãî) óñêîðåíèÿ
()
a
r
r
n
== =−
www r
×××
d
dt
ω
2
, (1.26)
ãäå
()
rr
=
t
 ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ â
ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó. Çäåñü ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî óãëîâîå óñêîðåíèå
e
w
=
d
dt
ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì óãëîâîé ñêîðîñòè íå òîëüêî ïî âåëè÷èíå, íî è ïî
íàïðàâëåíèþ, òàê ÷òî
a
âð
è
a
n
íå ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó.
Ïðîåêöèè âåêòîðà ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè w íà îñè ñèñòåìû
xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óãëû Ýéëåðà
ϕψθ, ,
(ñì. ðèñ. 1.3) è èõ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè
ϕψθ
.
, , .
..
Äåéñòâèòåëüíî,
âåêòîð w ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ:
w =+ +ϕψ θ
.. .
ee e
zz OA
o
. (1.27)
Çäåñü
e
z
è
e
z
0
 åäèíè÷íûå âåêòîðû âäîëü îñåé Oz è Oz
0
ñîîòâåòñòâåííî,
e
OA
 åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü ëèíèè óçëîâ OA (íà ðèñ. 1.3 ýòè îðòû íå
ïîêàçàíû). Îïðåäåëèì ïðîåêöèè âåêòîðîâ
ϕψ θ
.
,,,
ee e
zz OA
0
..
âõîäÿùèõ â
(1.27), íà îñè ñèñòåìû xyz (ñì. ðèñ. 1.3):
() ;
.
ϕe
zx
=0
() ;
.
ϕe
zy
=0
()
..
ϕϕe
zz
=
; (1.28)
() sinsin;
..
ψψθϕe
z
0
x
=⋅
() sincos;
..
ψψθϕe
z
0
y
=⋅
() cos;
..
ψψθe
z
0
z
=
(1.29)
()cos;
..
θθϕ
e
OA x
=
() sin;
..
θθϕe
OA y
=−
().
.
θ
e
OA z
= 0
(1.30)
Èç (1.27 - 1.30) ïîëó÷èì:
ωψθϕθϕ
ωψθϕθϕ
ωϕψθ
x
y
z
=+
=−
=+
..
..
..
sin sin cos ;
sin cos sin ;
cos .
()
()
()
131
132
133
.
.
.
Ëåêöèÿ 1                                                                                                           17
         Óñêîðåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè òâåðäîãî òåëà
                                  dv dw            dr
                                     =        a=
                                          ×r+w×                   (1.24)
                                  dt   dt          dt
ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: óñêîðåíèÿ, ñâÿçàííîãî ñ íåðàâíîìåðíîñòüþ âðàùå-
íèÿ (èçìåíåíèåì w ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ)
                                    dw
                                       × r = e × r, a âð =                                                       (1.25)
                                    dt
è öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî (íîðìàëüíîãî) óñêîðåíèÿ
                                                        dr
                                    an = w ×               = w × (w × r ) = − ω 2 r ,                            (1.26)
                                                        dt
ãäå r = r(t ) – ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ â
                                                                 dw
ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó. Çäåñü ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî óãëîâîå óñêîðåíèå e =
                                                                 dt
ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì óãëîâîé ñêîðîñòè íå òîëüêî ïî âåëè÷èíå, íî è ïî
íàïðàâëåíèþ, òàê ÷òî a âð è a n íå ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó.
       Ïðîåêöèè âåêòîðà ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè w íà îñè ñèñòåìû
xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óãëû Ýéëåðà
                                                                                     .       .       .
ϕ, ψ, θ (ñì. ðèñ. 1.3) è èõ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ϕ, ψ , θ. Äåéñòâèòåëüíî,
âåêòîð w ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ:
                                                    .            .           .
                                             w = ϕ e z + ψ e z o + θ e OA .                                      (1.27)

Çäåñü e z è ez 0 – åäèíè÷íûå âåêòîðû âäîëü îñåé Oz è Oz0 ñîîòâåòñòâåííî,

eOA — åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü ëèíèè óçëîâ OA (íà ðèñ. 1.3 ýòè îðòû íå
                                                                         .       .               .
ïîêàçàíû). Îïðåäåëèì ïðîåêöèè âåêòîðîâ ϕ e z , ψ e z 0 , θ e OA , âõîäÿùèõ â
(1.27), íà îñè ñèñòåìû xyz (ñì. ðèñ. 1.3):
 .                                   .                                               .                   .
(ϕ e z ) x = 0;                     (ϕ e z ) y = 0;                              (ϕ e z )z = ϕ ;                 (1.28)

 .                .                  .                   .                               .                   .
(ψ e z 0 ) x = ψ sin θ ⋅ sin ϕ;     (ψ e z 0 ) y = ψ sin θ ⋅ cos ϕ;              (ψ e z 0 )z = ψ cos θ;          (1.29)

 .            .                      .                       .                           .
(θ e OA ) x = θ cos ϕ;              (θ e OA ) y = − θ sin ϕ;                     (θ e OA )z = 0.                 (1.30)


Èç (1.27 - 1.30) ïîëó÷èì:
                                         .                           .
                                  ω x = ψ sin θ sin ϕ + θ cos ϕ;
                                         .                           .
                                                                                                                 (1.31)
                                  ω y = ψ sin θ cos ϕ − θ sin ϕ;                                                 (1.32)
                                         .      .
                                  ω z = ϕ + ψ cos θ.
                                                                                                                 (1.33)

Страницы