Механика твердого тела - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

15
Ëåêöèÿ 1
Ýòî óñêîðåíèå ñêëàäûâàåòñÿ èç òðåõ ÷àñòåé (ðèñ. 1.19): óñêîðåíèÿ a
0
òî÷êè O,
ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, òàíãåíöèàëüíîãî óñêîðåíèÿ
arr
τ
××=′=′
d
dt
w
e
(1.20)
è íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ
a
r
r rr r
n
=
′
=′=′−′=−′wwwwww w×××
d
dt
()()()
ω
2
(1.21)
(ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
()w
′
r
ðàâíî íóëþ, òàê êàê w ⊥
′
r ).
Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå ëþáîé òî÷êè À òåëà ïðè ïëîñêîì äâèæå-
íèè ðàâíî ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå óñêîðåíèÿ òî÷êè, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, è
óñêîðåíèÿ òî÷êè A çà ñ÷åò åå âðàùåíèÿ âîêðóã ýòîãî ïîëþñà. Îòñþäà, â ÷àñò-
íîñòè, ñëåäóåò, ÷òî óñêî-
ðåíèå ëþáîé òî÷êè êîëå-
ñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêî-
ñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
v
0
, íàïðàâëåíî ê öåíòðó
êîëåñà è ðàâíî
v
r
0
2
, ãäå
r  ðàññòîÿíèå ðàññìàò-
ðèâàåìîé òî÷êè äî öåíò-
ðà êîëåñà. Â ýòîì ïðèìåðå
â êà÷åñòâå ïîëþñà óäîáíî
âûáðàòü öåíòð êîëåñà Î,
òîãäà
aa
0
0==
τ
, è îñòà-
åòñÿ òîëüêî
a
v
r
n
=
0
2
.
Çàìå÷àíèå. Ïî àíàëîãèè ñ ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ ìîæíî ââåñòè
ìãíîâåííóþ îñü, óñêîðåíèÿ âñåõ òî÷åê êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè
ðàâíû íóëþ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ýòà îñü, âîîáùå ãîâîðÿ, íå
ñîâïàäàåò ñ ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ. Òàê, â ïðèìåðå ñ êîëåñîì, êàòÿ-
ùèìñÿ ïî ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, îíà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
êîëåñà.
Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Ïðèìåðû òàêèõ
òåë ïîêàçàíû íà ðèñ. 1.20: âîë÷îê ñ øàðíèðíî çàêðåïëåííûì îñòðèåì (à),
êîíóñ, êàòàþùèéñÿ ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (á).  ýòîì ñëó÷àå òåëî
èìååò òðè ñòåïåíè ñâîáîäû  íà÷àëà ñèñòåì XYZ è x
0
y
0
z
0
, ââåäåííûõ â íà÷à-
ëå ëåêöèè, ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ òî÷êîé çàêðåïëåíèÿ, à äëÿ îïèñàíèÿ äâèæå-
íèÿ òåëà èñïîëüçîâàòü òðè óãëà Ýéëåðà:
ϕϕ ψ ψ θθ=();t = (t); = (t). (1.22)
Äëÿ òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñïðàâåäëèâà òåîðåìà
Ýéëåðà: òâåðäîå òåëî, çàêðåïëåííîå â îäíîé òî÷êå, ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíî
X
x
O
Y
a
a
a
a
a
y
z
A
Z
0
0
0
n
t
A
0
0
0
r
r´
Ðèñ. 1.19
Ëåêöèÿ 1                                                                                      15
Ýòî óñêîðåíèå ñêëàäûâàåòñÿ èç òðåõ ÷àñòåé (ðèñ. 1.19): óñêîðåíèÿ a0 òî÷êè O,
ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, òàíãåíöèàëüíîãî óñêîðåíèÿ
                                           dw
                                    aτ =      × r′ = e × r′                               (1.20)
                                           dt
è íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ
                         dr ′
              an = w ×        = w × ( w × r ′) = w( w r ′) − r ′( w w) = −ω 2 r ′         (1.21)
                         dt
(ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (w r ′) ðàâíî íóëþ, òàê êàê w ⊥ r ′ ).
        Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå ëþáîé òî÷êè À òåëà ïðè ïëîñêîì äâèæå-
íèè ðàâíî ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå óñêîðåíèÿ òî÷êè, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, è
óñêîðåíèÿ òî÷êè A çà ñ÷åò åå âðàùåíèÿ âîêðóã ýòîãî ïîëþñà. Îòñþäà, â ÷àñò-
íîñòè, ñëåäóåò, ÷òî óñêî-
ðåíèå ëþáîé òî÷êè êîëå-
ñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêî-           Z
ñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ                           z             0
v 0 , íàïðàâëåíî ê öåíòðó                                                                     a0
                  v0
                     2
                                                                          A
êîëåñà è ðàâíî       , ãäå
                   r                                                                     at
r – ðàññòîÿíèå ðàññìàò-
                                                                     r´
ðèâàåìîé òî÷êè äî öåíò-                                    Y
                                                                       an           a0        aA
ðà êîëåñà. Â ýòîì ïðèìåðå
â êà÷åñòâå ïîëþñà óäîáíî         X                    r0
âûáðàòü öåíòð êîëåñà Î,                                         O                    y0
òîãäà a 0 = a τ = 0 , è îñòà-
                                                     x0
                     2
                 v                             Ðèñ. 1.19
åòñÿ òîëüêî a n = 0 .
                   r
        Çàìå÷àíèå. Ïî àíàëîãèè ñ ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ ìîæíî ââåñòè
ìãíîâåííóþ îñü, óñêîðåíèÿ âñåõ òî÷åê êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè
ðàâíû íóëþ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ýòà îñü, âîîáùå ãîâîðÿ, íå
ñîâïàäàåò ñ ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ. Òàê, â ïðèìåðå ñ êîëåñîì, êàòÿ-
ùèìñÿ ïî ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, îíà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
êîëåñà.

       Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Ïðèìåðû òàêèõ
òåë ïîêàçàíû íà ðèñ. 1.20: âîë÷îê ñ øàðíèðíî çàêðåïëåííûì îñòðèåì (à),
êîíóñ, êàòàþùèéñÿ ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (á).  ýòîì ñëó÷àå òåëî
èìååò òðè ñòåïåíè ñâîáîäû – íà÷àëà ñèñòåì XYZ è x0y0z0 , ââåäåííûõ â íà÷à-
ëå ëåêöèè, ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ òî÷êîé çàêðåïëåíèÿ, à äëÿ îïèñàíèÿ äâèæå-
íèÿ òåëà èñïîëüçîâàòü òðè óãëà Ýéëåðà:
                            ϕ = ϕ(t);  ψ = ψ(t);   θ = θ(t).      (1.22)
      Äëÿ òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñïðàâåäëèâà òåîðåìà
Ýéëåðà: òâåðäîå òåëî, çàêðåïëåííîå â îäíîé òî÷êå, ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíî

Страницы