Механика твердого тела - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

16 Ìåõàíèêà
èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ â ëþáîå äðó-
ãîå îäíèì ïîâîðîòîì íà íåêîòî-
ðûé óãîë âîêðóã íåïîäâèæíîé
îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó çàê-
ðåïëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òå-
îðåìû ìîæíî íàéòè â ó÷åáíèêàõ.
Äëÿ íàñ âàæíî ñëåäñòâèå èç ýòîé
òåîðåìû: äâèæåíèå çàêðåïëåííî-
ãî â òî÷êå òâåðäîãî òåëà â êàæäûé
ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ðàññìàò-
ðèâàòü êàê âðàùåíèå âîêðóã ìãíî-
âåííîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
òî÷êó çàêðåïëåíèÿ. Åñòåñòâåííî,
÷òî ïîëîæåíèå ýòîé îñè êàê â ïðî-
ñòðàíñòâå, òàê è îòíîñèòåëüíî ñà-
ìîãî òåëà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè â
îáùåì ñëó÷àå ìåíÿåòñÿ.
Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ïî-
ëîæåíèé ìãíîâåííîé îñè âðàùå-
íèÿ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé
ñèñòåìû XYZ (èëè x
0
y
0
z
0
)  ýòî
ñëîæíàÿ êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü
ñ âåðøèíîé â òî÷êå çàêðåïëåíèÿ. Â
òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå åå íàçû-
âàþò íåïîäâèæíûì àêñîèäîì. Ãåî-
ìåòðè÷åñêîå ìåñòî ïîëîæåíèé ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïîä-
âèæíîé ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì,  ýòî òîæå êîíè-
÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü  ïîäâèæíûé àêñîèä. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîíóñà
AO
1
,
êàòÿùåãîñÿ ïî ïîâåðõíîñòè äðóãîãî êîíóñà
AO
2
áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ.
1.21; òî÷êà À ïîäâèæíîãî êîíóñà øàðíèð-
íî çàêðåïëåíà) íåïîäâèæíûé àêñîèä ñî-
âïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ íåïîäâèæíîãî
êîíóñà
AO
2
, à ïîäâèæíûé àêñîèä  ñ ïî-
âåðõíîñòüþ ïîäâèæíîãî êîíóñà
AO
1
.
Ñêîðîñòü ïðîèçâîëüíîé òî÷êè òâåð-
äîãî òåëà ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê ëèíåéíóþ
ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã
ìãíîâåííîé îñè:
vr=w×
, (1.23)
ãäå r  ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè îòíîñèòåëüíî
íà÷àëà ñèñòåìû XYZ (èëè x
0
y
0
z
0
), ñîâìå-
ùåííîãî ñ òî÷êîé çàêðåïëåíèÿ. Ñëåäóåò
òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî, â îòëè÷èå îò âðà-
ùåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, ïëå÷î
âåêòîðà v (ðàññòîÿíèå ðàññìàòðèâàåìîé
òî÷êè äî ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ) ÿâ-
ëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè.
O
à
á
O
Ðèñ. 1.20
A
O
O
1
2
Ðèñ. 1.21
16                                                            Ìåõàíèêà
                                       èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ â ëþáîå äðó-
                                       ãîå îäíèì ïîâîðîòîì íà íåêîòî-
                                       ðûé óãîë âîêðóã íåïîäâèæíîé
                                       îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó çàê-
                                       ðåïëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òå-
                                       îðåìû ìîæíî íàéòè â ó÷åáíèêàõ.
                                       Äëÿ íàñ âàæíî ñëåäñòâèå èç ýòîé
                                       òåîðåìû: äâèæåíèå çàêðåïëåííî-
                                       ãî â òî÷êå òâåðäîãî òåëà â êàæäûé
            O                          ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ðàññìàò-
                                       ðèâàòü êàê âðàùåíèå âîêðóã ìãíî-
                                 à     âåííîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
                                       òî÷êó çàêðåïëåíèÿ. Åñòåñòâåííî,
                                       ÷òî ïîëîæåíèå ýòîé îñè êàê â ïðî-
                                       ñòðàíñòâå, òàê è îòíîñèòåëüíî ñà-
                                       ìîãî òåëà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè â
                                       îáùåì ñëó÷àå ìåíÿåòñÿ.
                O                              Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ïî-
                                       ëîæåíèé ìãíîâåííîé îñè âðàùå-
                                       íèÿ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé
                                       ñèñòåìû XYZ (èëè x0y0z0) – ýòî
                                       ñëîæíàÿ êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü
                                 á     ñ âåðøèíîé â òî÷êå çàêðåïëåíèÿ. Â
               Ðèñ. 1.20               òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå åå íàçû-
                                       âàþò íåïîäâèæíûì àêñîèäîì. Ãåî-
ìåòðè÷åñêîå ìåñòî ïîëîæåíèé ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïîä-
âèæíîé ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, – ýòî òîæå êîíè-
÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü – ïîäâèæíûé àêñîèä. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîíóñà AO 1 ,
êàòÿùåãîñÿ ïî ïîâåðõíîñòè äðóãîãî êîíóñà AO 2 áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ.
                                1.21; òî÷êà À ïîäâèæíîãî êîíóñà øàðíèð-
      A                         íî çàêðåïëåíà) íåïîäâèæíûé àêñîèä ñî-
                                âïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ íåïîäâèæíîãî
                                êîíóñà AO 2 , à ïîäâèæíûé àêñîèä – ñ ïî-
                                âåðõíîñòüþ ïîäâèæíîãî êîíóñà AO 1 .
                                       Ñêîðîñòü ïðîèçâîëüíîé òî÷êè òâåð-
                                äîãî òåëà ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê ëèíåéíóþ
                      O1        ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã
                                ìãíîâåííîé îñè:
                                                v=w× r,              (1.23)
                                ãäå r – ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè îòíîñèòåëüíî
                                íà÷àëà ñèñòåìû XYZ (èëè x0y0z0), ñîâìå-
                                ùåííîãî ñ òî÷êîé çàêðåïëåíèÿ. Ñëåäóåò
            O2                  òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî, â îòëè÷èå îò âðà-
                                ùåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, “ïëå÷î”
                                âåêòîðà v (ðàññòîÿíèå ðàññìàòðèâàåìîé
          Ðèñ. 1.21             òî÷êè äî ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ) ÿâ-
                                ëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè.

Страницы