Механика твердого тела - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

14 Ìåõàíèêà
íà îäíîé è òîé æå âåðòèêàëè. Ìãíîâåí-
íàÿ îñü âðàùåíèÿ (òî÷êà Ì) ïåðåìåùà-
åòñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóñà
l
2
(
l
 äëèíà ñòåðæíÿ).
Çíàÿ óãëîâóþ ñêîðîñòü
ω
è ïî-
ëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ,
ìîæíî ëåãêî îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ëþáîé
òî÷êè òåëà ïðè åãî ïëîñêîì äâèæåíèè.
Òàê, â ñëó÷àå êîëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî
ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ
v
0
áåç ïðî-
ñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ. 1.17), ñêîðîñòü òî÷êè Â
vMB
v
R
MB
B
=⋅ = ⋅ω
0
; (1.18)
âåêòîð v
B
ïåðïåíäèêóëÿðåí îòðåçêó ÌÂ, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êó  ñ òî÷êîé Ì,
÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ. Åñòåñòâåííî, v
B
ìîæíî
ïðåäñòàâèòü è êàê ãåîìåòðè÷åñêóþ ñóììó äâóõ ñêîðîñòåé: v
0
 ñêîðîñòè ïî-
ñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îñè êîëåñà è
′
v
0
 ñêîðîñòè âðàùàòåëüíîãî äâèæå-
íèÿ âîêðóã ýòîé îñè, ïðè÷åì
vv
00
=′
(ðèñ. 1.17).
Ðèñ. 1.18 èëëþñòðèðóåò ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé íà âåðòèêàëüíîì äè-
àìåòðå êîëåñà æåëåçíîäîðîæíîãî âàãîíà. Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò
÷åðåç òî÷êó Ì ñîïðèêîñíîâåíèÿ êîëåñà ñ ðåëüñîì. Õîðîøî âèäíî, ÷òî ëè-
íåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè íà êðàþ ðåáîðäû íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïî-
ëîæíóþ äâèæåíèþ âàãîíà.
Îïðåäåëèì òåïåðü óñêîðåíèÿ òî÷åê òåëà ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè. Äèô-
ôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (1.16) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì äëÿ óñêîðåíèÿ òî÷êè À
a
vv
r
r
aaa
A
A0
0n
==+
′
+
′
=++
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
w
w××
τ
. (1.19)
V
O
B
A
M
V
0
A
0
B
0
0
V
V
V
B
O
M
V´
O
M
Ðèñ. 1.16
Ðèñ. 1.17
Ðèñ. 1.18
14                                                                             Ìåõàíèêà
                                             íà îäíîé è òîé æå âåðòèêàëè. Ìãíîâåí-
                                             íàÿ îñü âðàùåíèÿ (òî÷êà Ì) ïåðåìåùà-
                                  B
                                                                                   l
                                             åòñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóñà         (l
                                                                                   2
          M                                  – äëèíà ñòåðæíÿ).
                           O                        Çíàÿ óãëîâóþ ñêîðîñòü ω è ïî-
                                             ëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ,
     VA                    V0                ìîæíî ëåãêî îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ëþáîé
                                             òî÷êè òåëà ïðè åãî ïëîñêîì äâèæåíèè.
          A                                  Òàê, â ñëó÷àå êîëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî
                    Ðèñ. 1.16
                                     ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ v 0 áåç ïðî-
ñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ. 1.17), ñêîðîñòü òî÷êè Â
                                          v0
                                        vB = ω ⋅MB =
                                             ⋅MB ;                 (1.18)
                                          R
âåêòîð vB ïåðïåíäèêóëÿðåí îòðåçêó ÌÂ, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êó  ñ òî÷êîé Ì,
÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ. Åñòåñòâåííî, vB ìîæíî
ïðåäñòàâèòü è êàê ãåîìåòðè÷åñêóþ ñóììó äâóõ ñêîðîñòåé: v0 – ñêîðîñòè ïî-

              V´0
                                   VB
      B
                        V0
                                   V0                        O

                O
                                                             M



                    M
              Ðèñ. 1.17                                    Ðèñ. 1.18

ñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îñè êîëåñà è v 0′ – ñêîðîñòè âðàùàòåëüíîãî äâèæå-

íèÿ âîêðóã ýòîé îñè, ïðè÷åì v 0 = v 0′ (ðèñ. 1.17).
       Ðèñ. 1.18 èëëþñòðèðóåò ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé íà âåðòèêàëüíîì äè-
àìåòðå êîëåñà æåëåçíîäîðîæíîãî âàãîíà. Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò
÷åðåç òî÷êó Ì ñîïðèêîñíîâåíèÿ êîëåñà ñ ðåëüñîì. Õîðîøî âèäíî, ÷òî ëè-
íåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè íà êðàþ ðåáîðäû íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïî-
ëîæíóþ äâèæåíèþ âàãîíà.
       Îïðåäåëèì òåïåðü óñêîðåíèÿ òî÷åê òåëà ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè. Äèô-
ôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (1.16) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì äëÿ óñêîðåíèÿ òî÷êè À
                           dv A   dv 0   dw            dr ′
                    aA =        =      +    × r′ + w ×      = a0 + aτ + an .       (1.19)
                            dt     dt    dt            dt

Страницы