Механика твердого тела - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

12 Ìåõàíèêà
ïðè ïîñòóïàòåëüíîì ïåðåìåùå-
íèè èçìåíèëàñü (â äàííîì ñëó-
÷àå óâåëè÷èëàñü), íî óãîë ïî-
âîðîòà îñòàëñÿ ïðåæíèì!
Ïðèáëèæàÿ êîíå÷íîå
ïîëîæåíèå òåëà ê íà÷àëüíîìó
(ñîêðàùàÿ ðàññìàòðèâàåìûé
ïðîìåæóòîê âðåìåíè), ïðèõî-
äèì ê âûâîäó: ïëîñêîå äâèæå-
íèå òâåðäîãî òåëà â ëþáîé ìî-
ìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ ïîñòó-
ïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñî ñêîðî-
ñòüþ íåêîòîðîé òî÷êè, âûáðàí-
íîé â êà÷åñòâå ïîëþñà, è âðà-
ùåíèÿ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç ïîëþñ.  ðåàëüíîé ñèòóà-
öèè îáà ýòè äâèæåíèÿ, åñòå-
ñòâåííî, ïðîèñõîäÿò îäíîâðå-
ìåííî. Ñóùåñòâåííî, ÷òî ðàç-
ëîæåíèå íà ïîñòóïàòåëüíîå è
âðàùàòåëüíîå äâèæåíèÿ îêàçû-
âàåòñÿ íåîäíîçíà÷íûì, ïðè÷åì
â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ïî-
ëþñà ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíî-
ãî äâèæåíèÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ,
à óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ
îñòàíåòñÿ íåèçìåííîé.
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñêà-
çàííûì ñêîðîñòü ëþáîé òî÷-
êè À òåëà (ðèñ. 1.12) ãåîìåò-
ðè÷åñêè ñêëàäûâàåòñÿ èç ñêî-
ðîñòè êàêîé-ëèáî äðóãîé òî÷-
êè O, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, è
ñêîðîñòè âðàùàòåëüíîãî äâè-
æåíèÿ âîêðóã ýòîãî ïîëþñà.
Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìà êîîð-
äèíàò XYZ íà ðèñ. 1.12  íå-
ïîäâèæíàÿ (ëàáîðàòîðíàÿ);
íà÷àëî ñèñòåìû x
0
y
0
z
0
ïîìåùå-
íî â íåêîòîðóþ òî÷êó Î òåëà (ïîëþñ), à ñàìà ñèñòåìà x
0
y
0
z
0
äâèæåòñÿ îòíîñè-
òåëüíî XYZ ïîñòóïàòåëüíî, ïðè÷åì òàê, ÷òî îñè Oy
0
è Oz
0
îñòàþòñÿ â ïëîñ-
êîñòè ðèñóíêà. Ðàññìàòðèâàåìàÿ òî÷êà À òåëà òàêæå äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè
ðèñóíêà (ïëîñêîå äâèæåíèå!).
Ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè À
rrr
A
=+
′
0
. (1.15)
Ñêîðîñòü òî÷êè À
v
rr
r
vr
A
A0
0
==+
′
=+ ′
d
dt
d
dt
d
dt
w ×
. (1.16)
B
B
1
1
2
2
1´
1´
B´
B´
A
A
A´
A´
Ðèñ. 1.11
X
x
O
Y
V
V
V
y
z
A
Z
0
A
0
0
A
0
0
0
r
r
r´
Ðèñ. 1.12
à
á
12                                                                Ìåõàíèêà
                                             ïðè ïîñòóïàòåëüíîì ïåðåìåùå-
                  1´                  2
 1                                           íèè èçìåíèëàñü (â äàííîì ñëó-
       B                            B´       ÷àå óâåëè÷èëàñü), íî óãîë ïî-
                                             âîðîòà îñòàëñÿ ïðåæíèì!
                                                     Ïðèáëèæàÿ êîíå÷íîå
                                             ïîëîæåíèå òåëà ê íà÷àëüíîìó
                                   à         (ñîêðàùàÿ ðàññìàòðèâàåìûé
                                             ïðîìåæóòîê âðåìåíè), ïðèõî-
             A              A´               äèì ê âûâîäó: ïëîñêîå äâèæå-
                                             íèå òâåðäîãî òåëà â ëþáîé ìî-
                                             ìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòà-
                                             âèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ ïîñòó-
  1                      2                   ïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñî ñêîðî-
       B                            B´       ñòüþ íåêîòîðîé òî÷êè, âûáðàí-
                                        1´ íîé â êà÷åñòâå ïîëþñà, è âðà-
                                             ùåíèÿ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé
                                             ÷åðåç ïîëþñ.  ðåàëüíîé ñèòóà-
                                             öèè îáà ýòè äâèæåíèÿ, åñòå-
                                             ñòâåííî, ïðîèñõîäÿò îäíîâðå-
             A              A´     á         ìåííî. Ñóùåñòâåííî, ÷òî ðàç-
                Ðèñ. 1.11                    ëîæåíèå íà ïîñòóïàòåëüíîå è
                                             âðàùàòåëüíîå äâèæåíèÿ îêàçû-
                                             âàåòñÿ íåîäíîçíà÷íûì, ïðè÷åì
                   V0                        â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ïî-
       Z
                               VA            ëþñà ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíî-
                 z0                          ãî äâèæåíèÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ,
                                             à óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ
                                             îñòàíåòñÿ íåèçìåííîé.
             V0       rA     A                       Â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêà-
                                             çàííûì ñêîðîñòü ëþáîé òî÷-
                                             êè À òåëà (ðèñ. 1.12) ãåîìåò-
                         r´                  ðè÷åñêè ñêëàäûâàåòñÿ èç ñêî-
                                             ðîñòè êàêîé-ëèáî äðóãîé òî÷-
X            r0            Y                 êè O, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, è
                                             ñêîðîñòè âðàùàòåëüíîãî äâè-
                   O            y0           æåíèÿ âîêðóã ýòîãî ïîëþñà.
                                             Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìà êîîð-
            x0                               äèíàò XYZ íà ðèñ. 1.12 – íå-
                 Ðèñ. 1.12                   ïîäâèæíàÿ (ëàáîðàòîðíàÿ);
                                             íà÷àëî ñèñòåìû x0y0z0 ïîìåùå-
íî â íåêîòîðóþ òî÷êó Î òåëà (ïîëþñ), à ñàìà ñèñòåìà x0y0z0 äâèæåòñÿ îòíîñè-
òåëüíî XYZ ïîñòóïàòåëüíî, ïðè÷åì òàê, ÷òî îñè Oy0 è Oz0 îñòàþòñÿ â ïëîñ-
êîñòè ðèñóíêà. Ðàññìàòðèâàåìàÿ òî÷êà À òåëà òàêæå äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè
ðèñóíêà (ïëîñêîå äâèæåíèå!).
       Ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè À
                                          rA = r0 + r ′ .             (1.15)
       Ñêîðîñòü òî÷êè À
                              dr A  dr   dr ′
                       vA =
                               dt
                                   = 0 +
                                     dt  dt
                                              = v0 + w × r′   .       (1.16)

Страницы