Механика твердого тела - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

11
Ëåêöèÿ 1
ar
τ
ερ==
et
×
A
(1.13)
 ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå (t  åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè
v
A
).
()
av r
nA A
=× =× ×
www
=ω ρ
2
n
(1.14)
 ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå (
n
 åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëå-
íèè ê îñè âðàùåíèÿ). Ýòè ñîñòàâëÿþùèå ïîëíîãî óñêîðåíèÿ õîðîøî èçâåñò-
íû èç êèíåìàòèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Ïëîñêîå äâèæåíèå  ýòî òàêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ïðè êîòîðîì
òðàåêòîðèè âñåõ åãî òî÷åê ëåæàò â íåïîäâèæíûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Åñëè â òåëå ïðîâåñòè íåêîòîðóþ ïðÿìóþ O
1
O
2
, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòèì ïëîñ-
êîñòÿì (ðèñ. 1.9), òî âñå òî÷êè ýòîé ïðÿìîé áóäóò äâèãàòüñÿ ïî îäèíàêîâûì
òðàåêòîðèÿì ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè; ñàìà ïðÿìàÿ áóäåò,
åñòåñòâåííî, ñîõðàíÿòü ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì,
ïðè ïëîñêîì, èëè, êàê åãî èíîãäà íàçûâàþò, ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîì äâèæå-
íèè òâåðäîãî òåëà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà.
Îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîìó ïðîñòîìó ïðèìåðó ïëîñêîãî äâèæåíèÿ 
êà÷åíèþ öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ îäíî èç
ñå÷åíèé öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè, ìû ïðèäåì ê
èçâåñòíîé çàäà÷å î êàòÿùåìñÿ êîëåñå (ðèñ. 1.10). Öåíòð êîëåñà äâèæåòñÿ ïðÿ-
ìîëèíåéíî, òðàåêòîðèè äðóãèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå, íàçûâàå-
ìûå öèêëîèäàìè.
Ïðè îòñóòñòâèè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü ñàìîé íèæ-
íåé òî÷êè êîëåñà (òî÷êè M) ðàâíà íóëþ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êà÷å-
íèå êîëåñà êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ñî ñêîðîñòüþ
îñè
v
0
è âðàùàòåëüíîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
ω=
v
R
0
, ãäå R  ðàäèóñ êîëåñà.
ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå
vv R
M
=− =
0
0ω
.
Ïîïðîáóåì îáîáùèòü ýòîò ïðèåì íà ïðîèçâîëüíîå ïëîñêîå äâèæåíèå.
Âûäåëèì îòðåçîê ÀB â ðàññìàòðèâàåìîì ñå÷åíèè òâåðäîãî òåëà (ðèñ. 1.11).
Ïåðåâîä ñå÷åíèÿ èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî èç 1 â 1´ è âðàùàòåëüíîãî èç
1´ â 2 âîêðóã òî÷êè À´, íàçûâàåìîé îáû÷íî ïîëþñîì (ðèñ. 1.11à). Ñóùåñòâåí-
íî, ÷òî â êà÷åñòâå ïîëþñà ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ
ñå÷åíèþ èëè äàæå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ âíå åãî. Íà ðèñ. 1.11á, ê
ïðèìåðó, â êà÷åñòâå ïîëþñà âûáðàíà òî÷êà Â. Îáðàòèòå âíèìàíèå: äëèíà ïóòè
BB
MM
O
0
V
O
Ðèñ. 1.10
Ëåêöèÿ 1                                                                      11

                                  a τ = e × rA = ερt                        (1.13)
– ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå (t – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè v A ).
                           a n = w × v A = w × (w × rA ) = ω 2 ρn           (1.14)
– ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ( n – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëå-
íèè ê îñè âðàùåíèÿ). Ýòè ñîñòàâëÿþùèå ïîëíîãî óñêîðåíèÿ õîðîøî èçâåñò-
íû èç êèíåìàòèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
       Ïëîñêîå äâèæåíèå – ýòî òàêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ïðè êîòîðîì
òðàåêòîðèè âñåõ åãî òî÷åê ëåæàò â íåïîäâèæíûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Åñëè â òåëå ïðîâåñòè íåêîòîðóþ ïðÿìóþ O1O2, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòèì ïëîñ-
êîñòÿì (ðèñ. 1.9), òî âñå òî÷êè ýòîé ïðÿìîé áóäóò äâèãàòüñÿ ïî îäèíàêîâûì
òðàåêòîðèÿì ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè; ñàìà ïðÿìàÿ áóäåò,
åñòåñòâåííî, ñîõðàíÿòü ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì,
ïðè ïëîñêîì, èëè, êàê åãî èíîãäà íàçûâàþò, ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîì äâèæå-
íèè òâåðäîãî òåëà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà.




             O                                                 O

             B             V0                                  B

             M                     Ðèñ. 1.10
                                                               M

       Îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîìó ïðîñòîìó ïðèìåðó ïëîñêîãî äâèæåíèÿ –
êà÷åíèþ öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ îäíî èç
ñå÷åíèé öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè, ìû ïðèäåì ê
èçâåñòíîé çàäà÷å î êàòÿùåìñÿ êîëåñå (ðèñ. 1.10). Öåíòð êîëåñà äâèæåòñÿ ïðÿ-
ìîëèíåéíî, òðàåêòîðèè äðóãèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå, íàçûâàå-
ìûå öèêëîèäàìè.
       Ïðè îòñóòñòâèè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü ñàìîé íèæ-
íåé òî÷êè êîëåñà (òî÷êè M) ðàâíà íóëþ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êà÷å-
íèå êîëåñà êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ñî ñêîðîñòüþ
                                                       v0
îñè v 0 è âðàùàòåëüíîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω =           , ãäå R – ðàäèóñ êîëåñà.
                                                       R
ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå v M = v 0 − ωR = 0 .
        Ïîïðîáóåì îáîáùèòü ýòîò ïðèåì íà ïðîèçâîëüíîå ïëîñêîå äâèæåíèå.
        Âûäåëèì îòðåçîê ÀB â ðàññìàòðèâàåìîì ñå÷åíèè òâåðäîãî òåëà (ðèñ. 1.11).
Ïåðåâîä ñå÷åíèÿ èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî èç 1 â 1´ è âðàùàòåëüíîãî èç
1´ â 2 âîêðóã òî÷êè À´, íàçûâàåìîé îáû÷íî ïîëþñîì (ðèñ. 1.11à). Ñóùåñòâåí-
íî, ÷òî â êà÷åñòâå ïîëþñà ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ
ñå÷åíèþ èëè äàæå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ âíå åãî. Íà ðèñ. 1.11á, ê
ïðèìåðó, â êà÷åñòâå ïîëþñà âûáðàíà òî÷êà Â. Îáðàòèòå âíèìàíèå: äëèíà ïóòè

Страницы