Механика твердого тела - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

34 Ìåõàíèêà
Ýòè âåêòîðû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì
′
=+rRr
ii
. (2.54)
Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî òî÷êè
′
O
(ñì. ôîðìóëó (2.1))
()
Lr
r
Rr
R
r
′
=′
′
=+ +
∑∑
Oi
i
i
i
i
ii
i
m
d
dt
m
d
dt
d
dt
××∆∆
. (2.55)
Âîñïîëüçóåìñÿ î÷åâèäíûìè ðàâåíñòâàìè
∆mM
i
i
∑
=
(2.56)
(Ì  ìàññà âñåãî òåëà);
∆m
i
i
∑
=r
i
0
(2.57)
è
∆m
d
dt
i
i
∑
=
r
i
0,
(2.58)
ïîñêîëüêó òî÷êà Î ñîâïàäàåò
ñ öåíòðîì ìàññ òåëà. Ñ ó÷åòîì
(2.56 - 2.58) èç (2.55) ïîëó-
÷èì
LR
R
r
r
Rp r v
′
=+ =+
∑∑
Oi
i
ii
××××
M
d
dt
m
d
dt
m
i
i
i
i
∆∆
,
(2.59)
ãäå
p
R
= M
d
dt
 ïîëíûé èìïóëüñ òåëà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ, v
i
ñêîðîñòü i-îé ìàññû îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.
Åñëè ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ (îòíîñè-
òåëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà) îïðåäåëèòü êàê
Lrv
Oi i
=
∑
i
i
m
×∆
,
(2.60)
òî èç (2.59) ñëåäóåò èñêîìîå ñîîòíîøåíèå
LLRp
′
=+
OO
×
. (2.61)
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ìîìåíòà èìïóëüñà òåëà
îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ (âåëè÷èíà L
O
) ñëåäóåò áðàòü îòíîñèòåëüíûå
ñêîðîñòè âñåõ òî÷åê òåëà, òî åñòü ñêîðîñòè òî÷åê òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà
ìàññ, ñ÷èòàÿ åãî êàê áû íåïîäâèæíûì.
Çàìå÷àíèå. Ñîîòíîøåíèå (2.61) ïîçâîëÿåò òàêæå ñâÿçàòü ìîìåíòû
èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êîòîðûõ íåïîäâèæ-
íà, à äðóãàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ äâèæóùåãîñÿ òåëà.
Îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðàì.
1.Ìîìåíò èìïóëüñà öèëèíäðà, ñêàòûâàþùåãîñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñ
íàêëîííîé ïëîñêîñòè, îòíîñèòåëüíî åãî îñè ðàâåí
J
0
ω
(
J
0
 ìîìåíò èíåðöèè
öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè,
ω
 ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ
öèëèíäðà). Ìîìåíò èìïóëüñà òîãî æå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñè
âðàùåíèÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ öèëèíäðà è ïëîñêîñòè, áóäåò ðàâåí
∆
m
i
r'
r
R
i
i
O' O
Ðèñ. 2.19
34                                                                                                 Ìåõàíèêà
Ýòè âåêòîðû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì
                                            ri′ = R + ri .                                                 (2.54)
Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî òî÷êè                           O ′ (ñì. ôîðìóëó (2.1))
                                         dri′                               dR                dri  
               L O′ =   ∑ ri′ × ∆m i     dt
                                              =   ∑ (R + ri ) × ∆m i  dt             +           
                                                                                                dt   .   (2.55)
                          i                       i

       Âîñïîëüçóåìñÿ î÷åâèäíûìè ðàâåíñòâàìè

                                                                            ∑ ∆m            i    =M        (2.56)
                                                           ∆m i                 i
                                                                    (Ì – ìàññà âñåãî òåëà);

                    r'i                                                         ∑ ∆m i ri = 0              (2.57)
                                                                                    i

                                                  ri                                        dri
                                                                      è     ∑ ∆m i          dt
                                                                                                = 0,       (2.58)
                                                                            i
                                                                    ïîñêîëüêó òî÷êà Î ñîâïàäàåò
O'              R                    O                              ñ öåíòðîì ìàññ òåëà. Ñ ó÷åòîì
                     Ðèñ. 2.19                                      (2.56 - 2.58) èç (2.55) ïîëó-
                                                                    ÷èì
                              dR                               dr i
            L O′ = R × M
                              dt
                                 +   ∑ ri   × ∆m i
                                                               dt
                                                                    =R×p+   ∑ ri        × ∆m i v i ,       (2.59)
                                     i                                          i

            dR
ãäå p = M      – ïîëíûé èìïóëüñ òåëà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ, vi –
            dt
ñêîðîñòü i-îé ìàññû îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.
       Åñëè ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ (îòíîñè-
òåëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà) îïðåäåëèòü êàê
                                         LO =     ∑ ri × ∆m i v i ,                                        (2.60)
                                                       i
òî èç (2.59) ñëåäóåò èñêîìîå ñîîòíîøåíèå
                                   L O′ = L O + R × p .             (2.61)
        Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ìîìåíòà èìïóëüñà òåëà
îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ (âåëè÷èíà LO) ñëåäóåò áðàòü îòíîñèòåëüíûå
ñêîðîñòè âñåõ òî÷åê òåëà, òî åñòü ñêîðîñòè òî÷åê òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà
ìàññ, ñ÷èòàÿ åãî êàê áû íåïîäâèæíûì.
        Çàìå÷àíèå. Ñîîòíîøåíèå (2.61) ïîçâîëÿåò òàêæå ñâÿçàòü ìîìåíòû
èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êîòîðûõ íåïîäâèæ-
íà, à äðóãàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ äâèæóùåãîñÿ òåëà.
        Îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðàì.
        1.Ìîìåíò èìïóëüñà öèëèíäðà, ñêàòûâàþùåãîñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñ
íàêëîííîé ïëîñêîñòè, îòíîñèòåëüíî åãî îñè ðàâåí J 0 ω ( J 0 – ìîìåíò èíåðöèè
öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè, ω – ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ
öèëèíäðà). Ìîìåíò èìïóëüñà òîãî æå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñè
âðàùåíèÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ öèëèíäðà è ïëîñêîñòè, áóäåò ðàâåí

Страницы