Механика твердого тела - 40 стр.

40                                                                   Ìåõàíèêà
ìî äðóã îò äðóãà.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (3.1) ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòî çàäà÷å èç
ìåõàíèêè òî÷êè, à óðàâíåíèå (3.2) – çàäà÷å î âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà âîêðóã
íåïîäâèæíîé òî÷êè èëè íåïîäâèæíîé îñè. Ïðèìåð ñèòóàöèè, êîãäà óðàâíå-
íèÿ (3.1) è (3.2) íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü íåçàâèñèìî – äâèæåíèå âðàùàþùåãî-
ñÿ òâåðäîãî òåëà â âÿçêîé ñðåäå.
       Äàëåå â ýòîé ëåêöèè ìû ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äèíàìèêè äëÿ òðåõ
÷àñòíûõ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà: âðàùåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè,
ïëîñêîãî äâèæåíèÿ è, íàêîíåö, äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî îñü ñèì-
ìåòðèè è çàêðåïëåííîãî â öåíòðå ìàññ.
       I. Âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè.
        ýòîì ñëó÷àå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
                                  dL
                                          =M .
                                   dt
Çäåñü L   – ýòî ìîìåíò èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, òî åñòü ïðîåê-
öèÿ íà îñü ìîìåíòà èìïóëüñà, îïðåäåëåííîãî îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷-
êè, ïðèíàäëåæàùåé îñè (ñì. ëåêöèþ ¹2). M – ýòî ìîìåíò âíåøíèõ ñèë
îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, òî åñòü ïðîåêöèÿ íà îñü ðåçóëüòèðóþùåãî ìî-
                                   ìåíòà âíåøíèõ ñèë, îïðåäåëåííîãî îò-
                                   íîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷êè, ïðèíàä-
                                   ëåæàùåé îñè, ïðè÷åì âûáîð ýòîé òî÷-
                                   êè íà îñè, êàê è â ñëó÷àå ñ L , çíà÷å-

                              F           íèÿ íå èìååò. Äåéñòâèòåëüíî (ðèñ. 3.4),
                                          M   = rF cos α = ρF , ãäå F – ñîñòàâëÿ-
                                          þùàÿ ñèëû, ïðèëîæåííîé ê òâåðäîìó
                                          òåëó, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñè âðàùåíèÿ,
M                       r                 ρ – ïëå÷î ñèëû F îòíîñèòåëüíî îñè.

                                                                             ∫ρ
                                                                                  2
                                                  Ïîñêîëüêó L   = Jω ( J =            dm
                                          – ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî
M               O
                                                                      dL
                                          îñè âðàùåíèÿ), òî âìåñòî            =M
             Ðèñ. 3.4                                                   dt
                                          ìîæíî çàïèñàòü
                                  d
                                  dt
                                     ( Jω ) = M                                   (3.8)
èëè
                                      dω
                                  J      =M ,                                     (3.9)
                                      dt
ïîñêîëüêó â ñëó÷àå òâåðäîãî òåëà J = const .
       Óðàâíåíèå (3.9) è åñòü îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâè-
æåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Åãî âåêòîðíàÿ ôîðìà èìååò âèä:
                                          dw
                                      J      =M                               (3.10)
                                          dt