Механика твердого тела - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

39
Ëåêöèÿ 3
ñîâïàäàþùèé ñ (3.2). Â ñàìîì äåëå, ìîìåíò èìïóëüñà òåëà L
0
 îòíîñèòåëüíî
äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ Î ñâÿçàí ñ ìîìåíòîì èìïóëüñà L
0´
îòíîñèòåëüíî
íåïîäâèæíîé òî÷êè
′
O
ñîîòíîøåíèåì, ïîëó÷åííûì â êîíöå ëåêöèè ¹2:
LL R
00
=−
′
×p, (3.3)
ãäå R  ðàäèóñ-âåêòîð îò
′
O
ê Î, p  ïîëíûé èìïóëüñ òåëà. Àíàëîãè÷íîå
ñîîòíîøåíèå ëåãêî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî è äëÿ ìîìåíòîâ ñèëû:
MM RF
00
=−
′
×, (3.4)
ãäå F  ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òâåðäîå òåëî.
Ïîñêîëüêó òî÷êà
′
O
íåïîäâèæíà, òî ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.2):
d
dt
L
M
′
′
=
0
0
. (3.5)
Òîãäà
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
LL
R
R
00
=−
−=
′
××
p
p
=−
−
′
d
dt
L
RF
0
0
××vp
. (3.6)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî
d
dt
p
F=
.
Âåëè÷èíà
v
0
=
d
dt
R
åñòü ñêîðîñòü òî÷êè Î â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ.
Ó÷èòûâàÿ (3.4), ïîëó÷èì
d
dt
L
M
0
00
=−vp×. (3.7)
Ïîñêîëüêó äâèæóùàÿñÿ òî÷êà O  ýòî öåíòð ìàññ òåëà, òî
pv=m
0
(m 
ìàññà òåëà),
vp
0
×=
0
è
d
dt
L
M
0
0
=
, òî åñòü óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñè-
òåëüíî äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî è îòíîñèòåëüíî
íåïîäâèæíîé òî÷êè. Ñóùåñòâåííî îòìåòèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå, êàê áûëî
ïîêàçàíî â êîíöå ëåêöèè ¹2, ñêîðîñòè âñåõ òî÷åê òåëà ïðè îïðåäåëåíèè L
0
ñëåäóåò áðàòü îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ òåëà.
Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ìîæíî
ðàçëîæèòü íà ïîñòóïàòåëüíîå (âìåñòå ñ ñèñòåìîé x
0
y
0
z
0
, íà÷àëî êîòîðîé íà-
õîäèòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå  ïîëþñå, æåñòêî ñâÿçàííîì ñ òåëîì) è âðàùà-
òåëüíîå (âîêðóã ìãíîâåííîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ). Ñ òî÷êè çðåíèÿ
êèíåìàòèêè âûáîð ïîëþñà îñîáîãî çíà÷åíèÿ íå èìååò, ñ òî÷êè æå çðåíèÿ
äèíàìèêè ïîëþñ, êàê òåïåðü ïîíÿòíî, óäîáíî ïîìåñòèòü â öåíòð ìàññ. Èìåí-
íî â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.2) ìîæåò áûòü çàïèñàíî îòíîñèòåëü-
íî öåíòðà ìàññ (èëè îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ) â òîì æå âèäå, êàê
è îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî íà÷àëà (èëè íåïîäâèæíîé îñè).
4. Åñëè
F
∑
íå çàâèñèò îò óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, à
M
∑
 îò ñêîðî-
ñòè öåíòðà ìàññ, òî óðàâíåíèÿ (3.1) è (3.2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåçàâèñè-
Ëåêöèÿ 3                                                                      39
ñîâïàäàþùèé ñ (3.2). Â ñàìîì äåëå, ìîìåíò èìïóëüñà òåëà L0 îòíîñèòåëüíî
äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ Î ñâÿçàí ñ ìîìåíòîì èìïóëüñà L0´ îòíîñèòåëüíî
íåïîäâèæíîé òî÷êè O ′ ñîîòíîøåíèåì, ïîëó÷åííûì â êîíöå ëåêöèè ¹2:
                                       L 0 = L 0′ − R × p ,                  (3.3)
ãäå R – ðàäèóñ-âåêòîð îò O ′ ê Î, p – ïîëíûé èìïóëüñ òåëà. Àíàëîãè÷íîå
ñîîòíîøåíèå ëåãêî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî è äëÿ ìîìåíòîâ ñèëû:
                                  M 0 = M 0′ − R × F ,              (3.4)
ãäå F – ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òâåðäîå òåëî.
Ïîñêîëüêó òî÷êà O ′ íåïîäâèæíà, òî ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.2):
                                            dL 0 ′
                                                   = M 0′ .                  (3.5)
                                             dt
Òîãäà
                           dL 0  dL 0′     dp  dR
                               =       −R×    −    ×p=
                            dt   dt        dt   dt

                                             dL 0 ′        
                                           =        − R × F − v 0 × p .    (3.6)
                                             dt            

                    dp
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî      = F.
                    dt
                     dR
        Âåëè÷èíà v 0 =   åñòü ñêîðîñòü òî÷êè Î â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ.
                      dt
Ó÷èòûâàÿ (3.4), ïîëó÷èì
                                  dL 0
                                       = M0 − v 0 × p .                      (3.7)
                                   dt
Ïîñêîëüêó äâèæóùàÿñÿ òî÷êà O – ýòî öåíòð ìàññ òåëà, òî p = mv 0 (m –
                          dL 0
ìàññà òåëà), v 0 × p = 0 è     = M 0 , òî åñòü óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñè-
                           dt
òåëüíî äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî è îòíîñèòåëüíî
íåïîäâèæíîé òî÷êè. Ñóùåñòâåííî îòìåòèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå, êàê áûëî
ïîêàçàíî â êîíöå ëåêöèè ¹2, ñêîðîñòè âñåõ òî÷åê òåëà ïðè îïðåäåëåíèè L0
ñëåäóåò áðàòü îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ òåëà.
       Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ìîæíî
ðàçëîæèòü íà ïîñòóïàòåëüíîå (âìåñòå ñ ñèñòåìîé x0y0z0, íà÷àëî êîòîðîé íà-
õîäèòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå – ïîëþñå, æåñòêî ñâÿçàííîì ñ òåëîì) è âðàùà-
òåëüíîå (âîêðóã ìãíîâåííîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ). Ñ òî÷êè çðåíèÿ
êèíåìàòèêè âûáîð ïîëþñà îñîáîãî çíà÷åíèÿ íå èìååò, ñ òî÷êè æå çðåíèÿ
äèíàìèêè ïîëþñ, êàê òåïåðü ïîíÿòíî, óäîáíî ïîìåñòèòü â öåíòð ìàññ. Èìåí-
íî â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.2) ìîæåò áûòü çàïèñàíî îòíîñèòåëü-
íî öåíòðà ìàññ (èëè îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ) â òîì æå âèäå, êàê
è îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî íà÷àëà (èëè íåïîäâèæíîé îñè).
        4. Åñëè   ∑F   íå çàâèñèò îò óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, à   ∑M     – îò ñêîðî-
ñòè öåíòðà ìàññ, òî óðàâíåíèÿ (3.1) è (3.2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåçàâèñè-

Страницы