Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58 Ìåõàíèêà
íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ. Òàê,
åñëè ñòåðæåíü ñ áûñòðî âðàùàþ-
ùèìñÿ äèñêîì ïîäâåñèòü íà íèòêå
(ðèñ. 4.4), òî îí íå îïóñêàåòñÿ âíèç,
êàê ýòî ìîæíî áûëî áû ïðåäïîëî-
æèòü, à ñîâåðøàåò ïðåöåññèîííîå
äâèæåíèå âîêðóã íèòêè. Íàáëþäå-
íèå ïðåöåññèè ãèðîñêîïà ïîä äåé-
ñòâèåì ñèëû òÿæåñòè â íåêîòîðîì
ñìûñëå äàæå óäîáíåå  ëèíèÿ äåé-
ñòâèÿ ñèëû àâòîìàòè÷åñêè ñìå-
ùàåòñÿ âìåñòå ñ îñüþ ãèðîñêîïà,
ñîõðàíÿÿ ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðî-
ñòðàíñòâå.
Ìîæíî ïðèâåñòè è äðóãèå
ïðèìåðû ïðåöåññèè  íàïðèìåð,
äâèæåíèå îñè õîðîøî èçâåñòíîé äåòñêîé èãðóøêè  þëû ñ çàîñòðåííûì
êîíöîì (ðèñ. 4.5). Þëà, ðàñêðó÷åííàÿ âîêðóã ñâîåé îñè è ïîñòàâëåííàÿ íà
ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü ñëåãêà íàêëîííî, íà÷èíàåò ïðåöåññèðîâàòü âîê-
ðóã âåðòèêàëüíîé îñè ïîä äåéñòâè-
åì ñèëû òÿæåñòè (ðèñ. 4.5).
Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î
äâèæåíèè ãèðîñêîïà â ïîëå âíå-
øíèõ ñèë äîâîëüíî ñëîæíî. Îäíà-
êî, âûðàæåíèå äëÿ óãëîâîé ñêîðî-
ñòè ïðåöåññèè ìîæíî ëåãêî ïîëó-
÷èòü â ðàìêàõ òàê íàçûâàåìîé ýëå-
ìåíòàðíîé òåîðèè ãèðîñêîïà. Â ýòîé
òåîðèè äåëàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî
ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðà-
ùåíèÿ ãèðîñêîïà è åãî ìîìåíò èì-
ïóëüñà íàïðàâëåíû âäîëü îñè ñèì-
ìåòðèè ãèðîñêîïà. Äðóãèìè ñëîâà-
ìè, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óãëîâàÿ
ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ãèðîñêîïà âîê-
ðóã ñâîåé îñè çíà÷èòåëüíî áîëüøå
óãëîâîé ñêîðîñòè ïðåöåññèè:
ω>>Ω
, (4.5)
òàê ÷òî âêëàäîì â L, îáóñëîâëåííûì ïðåöåññèîííûì äâèæåíèåì ãèðîñêîïà,
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  ýòîì ïðèáëèæåíèè ìîìåíò èìïóëüñà ãèðîñêîïà, î÷å-
âèäíî, ðàâåí
L = J
z
w, (4.6)
ãäå
J
z
 ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè.
Èòàê, ðàññìîòðèì òÿæåëûé ñèììåòðè÷íûé ãèðîñêîï, ó êîòîðîãî íå-
ïîäâèæíàÿ òî÷êà S (òî÷êà îïîðû î ïîäñòàâêó) íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ
Î (ðèñ. 4.6).
Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè S
M = mgl sin θ
, (4.7)
mg
L
O
m
g
Ðèñ. 4.4
Ðèñ. 4.5
58                                                                Ìåõàíèêà
                                         íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ. Òàê,
                                         åñëè ñòåðæåíü ñ áûñòðî âðàùàþ-
                                         ùèìñÿ äèñêîì ïîäâåñèòü íà íèòêå
                                         (ðèñ. 4.4), òî îí íå îïóñêàåòñÿ âíèç,
                                         êàê ýòî ìîæíî áûëî áû ïðåäïîëî-
                                      L  æèòü, à ñîâåðøàåò ïðåöåññèîííîå
                                         äâèæåíèå âîêðóã íèòêè. Íàáëþäå-
                                         íèå ïðåöåññèè ãèðîñêîïà ïîä äåé-
                                         ñòâèåì ñèëû òÿæåñòè â íåêîòîðîì
                                         ñìûñëå äàæå óäîáíåå – ëèíèÿ äåé-
                           mg            ñòâèÿ ñèëû “àâòîìàòè÷åñêè” ñìå-
                                         ùàåòñÿ âìåñòå ñ îñüþ ãèðîñêîïà,
                                         ñîõðàíÿÿ ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðî-
                                         ñòðàíñòâå.
                Ðèñ. 4.4                          Ìîæíî ïðèâåñòè è äðóãèå
                                         ïðèìåðû ïðåöåññèè – íàïðèìåð,
äâèæåíèå îñè õîðîøî èçâåñòíîé äåòñêîé èãðóøêè – þëû ñ çàîñòðåííûì
êîíöîì (ðèñ. 4.5). Þëà, ðàñêðó÷åííàÿ âîêðóã ñâîåé îñè è ïîñòàâëåííàÿ íà
ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü ñëåãêà íàêëîííî, íà÷èíàåò ïðåöåññèðîâàòü âîê-
                                        ðóã âåðòèêàëüíîé îñè ïîä äåéñòâè-
                                        åì ñèëû òÿæåñòè (ðèñ. 4.5).
                                                 Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î
                                        äâèæåíèè ãèðîñêîïà â ïîëå âíå-
                                        øíèõ ñèë äîâîëüíî ñëîæíî. Îäíà-
                                        êî, âûðàæåíèå äëÿ óãëîâîé ñêîðî-
                                        ñòè ïðåöåññèè ìîæíî ëåãêî ïîëó-
                                        ÷èòü â ðàìêàõ òàê íàçûâàåìîé ýëå-
                                        ìåíòàðíîé òåîðèè ãèðîñêîïà. Â ýòîé
                                        òåîðèè äåëàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî
                                        ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðà-
                                        ùåíèÿ ãèðîñêîïà è åãî ìîìåíò èì-
                            mg          ïóëüñà íàïðàâëåíû âäîëü îñè ñèì-
                                        ìåòðèè ãèðîñêîïà. Äðóãèìè ñëîâà-
                O                       ìè, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óãëîâàÿ
                                        ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ãèðîñêîïà âîê-
                                        ðóã ñâîåé îñè çíà÷èòåëüíî áîëüøå
                 Ðèñ. 4.5               óãëîâîé ñêîðîñòè ïðåöåññèè:
                               ω >> Ω ,                                   (4.5)
òàê ÷òî âêëàäîì â L, îáóñëîâëåííûì ïðåöåññèîííûì äâèæåíèåì ãèðîñêîïà,
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  ýòîì ïðèáëèæåíèè ìîìåíò èìïóëüñà ãèðîñêîïà, î÷å-
âèäíî, ðàâåí
                               L = Jzw,                                   (4.6)
ãäå J z – ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè.
        Èòàê, ðàññìîòðèì òÿæåëûé ñèììåòðè÷íûé ãèðîñêîï, ó êîòîðîãî íå-
ïîäâèæíàÿ òî÷êà S (òî÷êà îïîðû î ïîäñòàâêó) íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ
Î (ðèñ. 4.6).
        Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè S
                            M = mgl sin θ ,                        (4.7)

Страницы