Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 60 стр.

60                                                               Ìåõàíèêà
áûëî îïèñàíî âûøå â ðàìêàõ ýëåìåíòàðíîé òåîðèè. Åñëè ñîîáùèòü ãèðîñêîïó
òîë÷îê, èçìåíÿþùèé óãîë θ (ñì. ðèñ. 4.6), òî ïðåöåññèÿ ïåðåñòàíåò áûòü
ðàâíîìåðíîé (÷àñòî ãîâîðÿò: ðåãóëÿðíîé), à áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ ìåëêèìè
êîëåáàíèÿìè âåðøèíû ãèðîñêîïà – íóòàöèÿìè. Äëÿ èõ îïèñàíèÿ íåîáõîäèìî
ó÷åñòü íåñîâïàäåíèå âåêòîðà ïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà L, ìãíîâåííîé óã-
ëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ω è îñè ñèììåòðèè ãèðîñêîïà.
       Òî÷íàÿ òåîðèÿ ãèðîñêîïà âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà îáùåé ôèçèêè. Èç
ñîîòíîøåíèÿ dL = Mdt ñëåäóåò, ÷òî êîíåö âåêòîðà L äâèæåòñÿ â íàïðàâëå-
íèè M, òî åñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî ê âåðòèêàëè è ê îñè ãèðîñêîïà. Ýòî çíà÷èò,
÷òî ïðîåêöèè âåêòîðà L íà âåðòèêàëü LB è íà îñü ãèðîñêîïà L0 îñòàþòñÿ
ïîñòîÿííûìè. Åùå îäíîé ïîñòîÿííîé ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ
                             E = T + mgl ⋅ cos θ ,                   (4.14)
ãäå Ò – êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ãèðîñêîïà. Âûðàæàÿ LB, L0 è T ÷åðåç óãëû
Ýéëåðà è èõ ïðîèçâîäíûå, ìîæíî ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ýéëåðà îïèñàòü
äâèæåíèå òåëà àíàëèòè÷åñêè.
       Ðåçóëüòàò òàêîãî îïèñàíèÿ îêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì: âåêòîð ìîìåíòà
èìïóëüñà L îïèñûâàåò íåïîäâèæíûé â ïðîñòðàíñòâå êîíóñ ïðåöåññèè, è ïðè
ýòîì îñü ñèììåòðèè ãèðîñêîïà äâèæåòñÿ âîêðóã âåêòîðà L ïî ïîâåðõíîñòè
êîíóñà íóòàöèè. Âåðøèíà êîíóñà íóòàöèè, êàê è âåðøèíà êîíóñà ïðåöåññèè,
íàõîäèòñÿ â òî÷êå çàêðåïëåíèÿ ãèðîñêîïà, à îñü êîíóñà íóòàöèè ñîâïàäàåò ïî
íàïðàâëåíèþ ñ L è äâèæåòñÿ âìåñòå ñ íèì. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü íóòàöèè îïðåäå-
ëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
                                         L J zω
                               ω íóò =      ≈
                                         Js   Js ,                      (4.15)

ãäå J z è J s – ìîìåíòû èíåðöèè ãèðîñêîïà îòíîñèòåëüíî åãî îñè ñèììåòðèè
è îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó îïîðû è ïåðïåíäèêóëÿðíîé
îñè ñèììåòðèè, ω – óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âîêðóã îñè ñèììåòðèè (ñðàâí.
ñ (3.64)).
        Òàêèì îáðàçîì, îñü ãèðîñêîïà ó÷àñòâóåò â äâóõ äâèæåíèÿõ: íóòàöèîí-
íîì è ïðåöåññèîííîì. Òðàåêòîðèè àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ âåðøèíû ãèðîñêî-
ïà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé çàìûñëîâàòûå ëèíèè, ïðèìåðû êîòîðûõ ïðåäñòàâëå-
íû íà ðèñ. 4.7.
        Õàðàêòåð òðàåêòîðèè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ âåðøèíà ãèðîñêîïà, çàâè-
ñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.  ñëó÷àå ðèñ. 4.7à ãèðîñêîï áûë ðàñêðó÷åí âîêðóã îñè
ñèììåòðèè, óñòàíîâëåí íà ïîäñòàâêå ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê âåðòèêàëè è îñ-
òîðîæíî îòïóùåí.  ñëó÷àå ðèñ. 4.7á åìó, êðîìå òîãî, áûë ñîîáùåí íåêîòîðûé
òîë÷îê âïåðåä, à â ñëó÷àå ðèñ. 4.7⠖ òîë÷îê íàçàä ïî õîäó ïðåöåññèè. Êðèâûå
íà ðèñ. 4.7 âïîëíå àíàëîãè÷íû öèêëîèäàì, îïèñûâàåìûì òî÷êîé íà îáîäå êî-
ëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ èëè ñ ïðîñêàëüçûâàíèåì
â òó èëè èíóþ ñòîðîíó. È ëèøü ñîîáùèâ ãèðîñêîïó íà÷àëüíûé òîë÷îê âïîëíå
îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû è íàïðàâëåíèÿ, ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî îñü ãèðîñ-
êîïà áóäåò ïðåöåññèðîâàòü áåç íóòàöèé. ×åì áûñòðåå âðàùàåòñÿ ãèðîñêîï, òåì
áîëüøå óãëîâàÿ ñêîðîñòü íóòàöèé è òåì ìåíüøå èõ àìïëèòóäà. Ïðè î÷åíü áûñ-
òðîì âðàùåíèè íóòàöèè äåëàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåçàìåòíûìè äëÿ ãëàçà.
        Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì: ïî÷åìó ãèðîñêîï, áóäó÷è ðàñêðó÷åí,
óñòàíîâëåí ïîä óãëîì ê âåðòèêàëè è îòïóùåí, íå ïàäàåò ïîä äåéñòâèåì ñèëû
òÿæåñòè, à äâèæåòñÿ âáîê? Îòêóäà áåðåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðåöåññè-
îííîãî äâèæåíèÿ?