Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1
2J
ˆ
L
2
Ψ(θ, ϕ) = EΨ(θ, ϕ)
ˆ
L
2
Ψ(θ, ϕ) = 2IEΨ(θ, ϕ).
ˆ
L
2
2IE
l
= }
2
l(l + 1), l = 0, 1, . . . ;
Ψ
lm
(θ, ϕ) = Y
lm
(θ, ϕ), m = 0, ±1, . . . , ±l.
E
l
=
}
2
2I
l ( l + 1)
Y
lm
(θ, ϕ) E
l
2l + 1 l = 0 ¤
1s
f
10
(r) = 2
µ
Z
a
0
3
/
2
exp
µ
−
Zr
a
0
∞
Z
0
t
n
e
−t
dt = n!
∞
Z
0
f
2
10
(r)r
2
dr =
4Z
3
a
3
0
∞
Z
0
r
2
exp
µ
−
2Zr
a
0
dr =
1
2
∞
Z
0
t
2
e
−t
dt =
1
2
· 2! = 1,
2IE E
Ñ ýòèì ãàìèëüòîíèàíîì ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ðîòà-
òîðà ïðèíèìàåò âèä
                              1 2
                                L̂ Ψ(θ, ϕ) = EΨ(θ, ϕ)
                             2J
èëè
                             L̂2 Ψ(θ, ϕ) = 2IEΨ(θ, ϕ).                         (1.23)
   Óðàâíåíèå (1.23) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì íà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîá-
ñòâåííûå çíà÷åíèÿ2 îïåðàòîðà L̂2 , êîòîðûå íàì èçâåñòíû:
              2IEl = }2 l(l + 1),                          l = 0, 1, . . . ;
              Ψlm (θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ),                m = 0, ±1, . . . , ±l.
     Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó ýíåðãåòè÷åñêîìó óðîâíþ ðîòàòîðà
                                       }2
                                  El =    l(l + 1)
                                       2I
ñîîòâåòñòâóþò ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå çàäàþòñÿ ñôåðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè
Ylm (θ, ϕ) (áàçèñ ðîòàòîðà). Ýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíü El âûðîæäåí ñ êðàò-
íîñòüþ 2l + 1. Îñíîâíîå ñîñòîÿíèå (l = 0) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì. ¤

Ïðèìåð 1.3. Èñïîëüçóÿ (1.17), ïîëó÷èòü ÿâíûé âèä âîëíîâîé ôóíê-
öèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà è ïîêàçàòü, ÷òî
îíà íîðìèðîâàíà íà åäèíèöó. Âûïèñàòü ïîëíóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ 1s-
ñîñòîÿíèÿ.
                                            µ ¶ 3/2    µ     ¶
                                             Z            Zr
Ðåøåíèå. Èç (1.17) ñëåäóåò, ÷òî f10 (r) = 2         exp −     .
                                             a0           a0
   Â äàëüíåéøåì èíòåãðàëû óäîáíî çàìåíîé ïåðåìåííûõ ïðèâîäèòü ê
âèäó
                                   Z∞
                                     tn e−t dt = n!                            (1.24)
                                   0

Òîãäà
 Z∞                 3 Z
                       ∞      µ      ¶        Z∞
    2            4Z              2Zr        1              1
   f10 (r)r2 dr = 3     r2 exp −       dr =     t2 e−t dt = · 2! = 1,
                  a0              a0        2              2
 0                       0                             0
     2  äàííîì ñëó÷àå èì ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèå 2IE , ãäå ìíîæèòåëü E ïîäëåæèò
îïðåäåëåíèþ


                                         10

Страницы