Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

a
0
=
}
2
µe
2
a
0
= 0.529
N
nl
=
µ
2Z
na
0
3
/
2
1
(2l + 1)!
s
(n + l)!
2n(n − l − 1)!
1
F
1
(a; b; x) = 1 +
1
1!
a
b
x +
1
2!
a(a + 1)
b(b + 1)
x
2
+ . . .
a 6 0 |a| n = 1, 2, 3, . . .
l
n l l = 0, 1, . . . , n − 1
l m =
0, ±1, . . . , ±1 (2l + 1)
E
n
g
n
=
n−1
X
l=0
(2l + 1) = n
2
.
m
n l nl
l
1s n = 1 l = 0 E
n
n = 1 1s
ˆ
A
ˆ
B
(
ˆ
A ×
ˆ
B)
2
=
X
jk
ˆ
A
j
ˆ
B
k
(
ˆ
A
j
ˆ
B
k
−
ˆ
A
k
ˆ
B
j
) (j, k = x, y, z).
        }2
ãäå a0 = 2  áîðîâñêèé ðàäèóñ (äëÿ ýëåêòðîíà a0 = 0.529 
                                                        A);
        µe
                   µ     ¶ 3/2          s
                     2Z            1        (n + l)!
             Nnl =
                     na0       (2l + 1)! 2n(n − l − 1)!

 íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü;
                                        1a      1 a(a + 1) 2
               1 F1 (a; b; x)   =1+          x+             x + ...
                                        1! b    2! b(b + 1)

 âûðîæäåííàÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (ïðè öåëîì ïàðàìåòðå
a 6 0 îíà ïðåâðàùàåòñÿ â ïîëèíîì ñòåïåíè |a|). n = 1, 2, 3, . . .  ãëàâíîå
êâàíòîâîå ÷èñëî. Êàê âèäíî èç (1.18), çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îïðåäåëÿþòñÿ
òîëüêî ýòèì êâàíòîâûì ÷èñëîì è íå çàâèñÿò îò îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà.
Òàêîå âûðîæäåíèå ïî îðáèòàëüíîìó êâàíòîâîìó ÷èñëó l (ñëó÷àéíîå âû-
ðîæäåíèå) îáóñëîâëåíî ñïåöèôèêîé êóëîíîâñêîãî ïîëÿ è â öåíòðàëüíûõ
ïîòåíöèàëàõ äðóãîãî âèäà íå âñòðå÷àåòñÿ.
    Ïðè ôèêñèðîâàííîì n ÷èñëî l ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ l = 0, 1, . . . , n − 1
(íàïîìíèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì l ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî m =
0, ±1, . . . , ±1, ò.å. (2l + 1) çíà÷åíèå). Òàêèì îáðàçîì, êðàòíîñòü âûðîæäå-
íèÿ óðîâíÿ En ðàâíà
                                       n−1
                                       X
                                gn =         (2l + 1) = n2 .           (1.19)
                                       l=0

   Ðàäèàëüíûå âîëíîâûå ôóíêöèè (1.17), êàê è äîëæíî áûòü â öåíòðàëü-
íîì ïîëå, íå çàâèñÿò îò ìàãíèòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà m. Îíè õàðàêòå-
ðèçóþòñÿ ãëàâíûì n è îðáèòàëüíûì l êâàíòîâûìè ÷èñëàìè ïî ñõåìå nl,
ïðè÷åì äëÿ l íàäî èñïîëüçîâàòü áóêâåííûé ñïåêòðîñêîïè÷åñêèé ñèìâîë.
Òàê, 1s-ñîñòîÿíèå îçíà÷àåò ñîñòîÿíèå ñ n = 1 è l = 0 è ò.ä. Ïîñêîëüêó En
ìèíèìàëüíî ïðè n = 1, îñíîâíûì ÿâëÿåòñÿ 1s-ñîñòîÿíèå.

   Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 1.1. Çàïèñàòü îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â ñôåðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ òîæäåñòâî, ñïðàâåäëèâîå
äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðíûõ îïåðàòîðîâ Â è B̂:
                    X
       (Â × B̂)2 =   Âj B̂k (Âj B̂k − Âk B̂j ) (j, k = x, y, z). (1.20)
                      jk


                                               8

Страницы