Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
A
ˆ
B r
ˆ
p
[r
j
, ˆp
k
] = i}δ
jk
ˆ
L
2
= [r ×
ˆ
p]
2
= r
2
ˆ
p
2
− (r
ˆ
p)
2
+ i}(r
ˆ
p).
r = (x
2
+ y
2
+ z
2
)
1
/
2
x
∂
∂x
+ y
∂
∂y
+ z
∂
∂z
= r
∂
∂r
[r, ˆp
r
] = i}
(r
ˆ
p) = −i}r
∂
∂r
= rˆp
r
+ i},
ˆp
r
(r
ˆ
p)
2
− i}(r
ˆ
p) ≡ ((r
ˆ
p) − i})(r
ˆ
p) = rˆp
r
(rˆp
r
+ i}) = r
2
ˆp
2
r
.
r
2
(
ˆ
p
2
− ˆp
2
r
)
r
2
ˆ
p
2
= ˆp
2
r
+
ˆ
L
2
/r
2
,
ˆ
T =
ˆ
p
2
2µ
=
ˆp
2
r
2µ
+
ˆ
L
2
2µr
2
.
ˆ
L
2
¤
I
θ ϕ
ˆ
p
ˆ
L µ I
ˆ
H =
ˆ
L
2
2I
.
Ïîäñòàâëÿÿ â (1.20) âìåñòî Â è B̂ ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðû r è p̂ è ïðè-
ìåíÿÿ ïîâòîðíî êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå [rj , p̂k ] = i}δjk (ïðîäåëàòü
ñàìîñòîÿòåëüíî!), ïîëó÷àåì:

                    L̂2 = [r × p̂]2 = r2 p̂2 − (rp̂)2 + i}(rp̂).            (1.21)

                                  ∂ 1/2     ∂      ∂       ∂
Ïîñêîëüêó r = (x2 + y 2 + z 2 )         ,
                                        +y  x   +z    = r , òî, ó÷èòû-
                                 ∂x         ∂y     ∂z     ∂r
âàÿ êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå [r, p̂r ] = i} (äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî!),
ïîëó÷èì:
                                            ∂
                          (rp̂) = −i}r         = rp̂r + i},
                                            ∂r
ãäå îïåðàòîð p̂r îïðåäåëåí â (1.3);

      (rp̂)2 − i}(rp̂) ≡ ((rp̂) − i})(rp̂) = rp̂r (rp̂r + i}) = r2 p̂2r .   (1.22)

Êàê ìîæíî âèäåòü èç (1.22), ïðàâàÿ ÷àñòü (1.21) ðàâíà r2 (p̂2 − p̂2r ). Ðàç-
äåëèâ îáå ÷àñòè (1.21) íà r2 , ïîëó÷èì

                                p̂2 = p̂2r + L̂2 /r2 ,

îòêóäà

                                    p̂2  p̂2  L̂2
                             T̂ =       = r +     .
                                    2µ   2µ 2µr2

Äàííûé ðåçóëüòàò áûë èñïîëüçîâàí â (1.2) ïðè ïîñòðîåíèè ãàìèëüòîíèàíà
â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Íàïîìíèì, ÷òî âèä L̂2 â ñôåðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò ïðèâåäåí â (1.4).                                ¤

Ïðèìåð 1.2. Íàéòè ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé (ýíåðãåòè÷åñêèé
ñïåêòð) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì âîëíîâûå ôóíêöèè äëÿ ïðîñòðàíñòâåí-
íîãî ðîòàòîðà ñ ìîìåíòîì èíåðöèè I .
Ðåøåíèå. Ðîòàòîð èìååò òîëüêî äâå âðàùàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû, êîòî-
ðûå óäîáíî õàðàêòåðèçîâàòü óãëàìè θ, ϕ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Äâèæåíèå ðîòàòîðà ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì, è ïîýòîìó ãàìèëüòîíèàí ìîæ-
íî ïîñòðîèòü ïî àíàëîãèè ñ ãàìèëüòîíèàíîì ñâîáîäíîãî ïîñòóïàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ ñ çàìåíîé p̂ íà L̂ è ìàññû µ  íà I :

                                                    L̂2
                                      Ĥ =              .
                                                    2I


                                                9

Страницы