Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

U
eff
(r) = U(r) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
.
}
2
l ( l + 1)
2µr
2
f
El
(r)|
r→∞
→ 0 R
El
(r)|
r→∞
→ 0 f
El
(r) R
El
(r)
∞
Z
0
f
2
El
(r)r
2
dr = 1;
∞
Z
0
R
2
El
(r) dr = 1.
l m
m = 0, ±1, . . . , ±l 2l + 1
l 2l + 1
l = 0, 1, 2, . . .
s p
d f g
l = 0 s l =
1 p
ˆ
I
ˆ
IΨ(r) = Ψ(−r) ±1
r
θ → π − θ ϕ = ϕ + π
ˆ
IΨ
Elm
(r, θ, ϕ) = f
El
(r)
ˆ
IY
lm
(θ, ϕ) = f
El
(r)Y
lm
(π − θ, ϕ + π) =
= (−1)
l
f
El
(r)Y
lm
(θ, ϕ) = (−1)
l
Ψ
Elm
(r, θ, ϕ).
l l
ñîâïàäàåò ñ îäíîìåðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà ñ ïîòåíöèàëîì

                                            }2 l(l + 1)
                         Ueff (r) = U (r) +             .                (1.13)
                                               2µr2
Òàêèì îáðàçîì, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, ïîäîáíî êëàññè÷åñêîé, ïîçâîëÿåò â
öåíòðàëüíîì ïîëå ñâåñòè òðåõìåðíóþ çàäà÷ó ê îäíîìåðíîé äîáàâëåíèåì
                           }2 l(l + 1)
öåíòðîáåæíîãî ñëàãàåìîãî               .
                              2µr2
    Íà áåñêîíå÷íîì óäàëåíèè îò ñèëîâîãî öåíòðà ãðàíè÷íîå óñëîâèå îïðå-
äåëÿåòñÿ êîíêðåòíîé ïîñòàíîâêîé çàäà÷è. Òàê, äëÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé
fEl (r)|r→∞ → 0, REl (r)|r→∞ → 0. Ïðè ýòîì ôóíêöèè fEl (r) è REl (r)
ñëåäóåò íîðìèðîâàòü íà åäèíèöó óñëîâèÿìè
                   Z∞                        Z∞
                      2
                     fEl (r)r2 dr = 1;          2
                                               REl (r) dr = 1.           (1.14)
                   0                         0

    Ïîñêîëüêó ïðè ôèêñèðîâàííîì l ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî m ìîæåò
ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ m = 0, ±1, . . . , ±l (âñåãî 2l + 1 çíà÷åíèå), êàæäîå èç
ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì l áóäåò 2l + 1-êðàòíî
âûðîæäåíî. Ñîñòîÿíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçíûì çíà÷åíèÿì l = 0, 1, 2, . . . ,
ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåííî ñïåêòðîñêîïè÷åñêèìè ñèìâîëàìè s, p,
d, f , g è äàëåå â àëôàâèòíîì ïîðÿäêå. Òàê, íàïðèìåð, ñîñòîÿíèÿ ñ íóëåâûì
îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì (l = 0) íàçûâàþò s-ñîñòîÿíèÿìè, ñîñòîÿíèÿ ñ l =
1  p-ñîñòîÿíèÿìè è ò.ä.
    Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà (1.2) êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì ïðîñòðàíñòâåí-
íîé èíâåðñèè Iˆ (IΨ(r)
                    ˆ    = Ψ(−r)), èìåþùèì äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ ±1.
 ñâÿçè ñ ýòèì ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì ìîãóò
áûòü ðàçäåëåíû íà ÷åòíûå è íå÷åòíûå. Ïðè îïåðàöèè èíâåðñèè êîîð-
äèíàòà r íå ìåíÿåòñÿ, à óãëîâûå ïåðåìåííûå ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó
θ → π − θ, ϕ = ϕ + π , ïîýòîìó

  ˆ Elm (r, θ, ϕ) = fEl (r)IY
  IΨ                       ˆ lm (θ, ϕ) = fEl (r)Ylm (π − θ, ϕ + π) =
                        = (−1)l fEl (r)Ylm (θ, ϕ) = (−1)l ΨElm (r, θ, ϕ). (1.15)

Èç (1.15) ñëåäóåò, ÷òî âîëíîâûå ôóíêöèè â ñëó÷àå öåíòðàëüíûõ ïîëåé
ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà èíâåðñèè. Âñå ñîñòîÿíèÿ
ñ ÷åòíûìè l îòíîñÿòñÿ ê ÷åòíûì ñîñòîÿíèÿì, ñîñòîÿíèÿ ñ íå÷åòíûìè l
ÿâëÿþòñÿ íå÷åòíûìè ñîñòîÿíèÿìè.



                                         6

Страницы