Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

l m
l = 0, 1
Y
00
(θ, ϕ) =
1
√
4π
;
Y
10
(θ, ϕ) =
r
3
4π
cos θ;
Y
1±1
(θ, ϕ) = ∓
r
3
8π
sin θe
±iϕ
.
L
2
L
z
ˆ
L
2
ˆ
L
z
Ψ(
r
) = Ψ
Elm
(
r, θ, ϕ
) =
f
El
(
r
)
Y
lm
(
θ, ϕ
)
,
f
El
(r)
U(r) E
l
f(r)
m
Ψ(r) r (θ, ϕ)
f
El
(r)
−
}
2
2µ
1
r
2
d
dr
µ
r
2
d
dr
f
El
(r) +
·
U(r) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
¸
f
El
(r) = Ef
El
(r).
f
El
(r) r ∞
f
El
(r) f
El
(r) =
1
r
R
El
(r)
−
}
2
2µ
d
2
dr
2
R
El
(r) +
·
U(r) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
¸
R
El
(r) = ER
El
(r)
R
El
(0) = 0
l íàçûâàþò îðáèòàëüíûì, à m  ìàãíèòíûì êâàíòîâûìè ÷èñëàìè.
    Ïðèâåäåì ÿâíûé âèä ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì
÷èñëîì l = 0, 1:
                                                     
                                    1                
                     Y00 (θ, ϕ) = √ ;                
                                                     
                                    4π               
                                                     
                                  r                  
                                                     
                                                     
                                      3
                     Y10 (θ, ϕ) =        cos θ;                (1.9)
                                     4π              
                                                     
                                    r                
                                                     
                                        3            
                                                     
                                                 ±iϕ 
                    Y1±1 (θ, ϕ) = ∓        sin θe .
                                       8π
   Òàê êàê âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû ñ îïðåäå-
ëåííûìè çíà÷åíèÿìè L2 , Lz â ïðîèçâîëüíîì ïîëå ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè
äîëæíà îäíîâðåìåííî áûòü ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðîâ L̂2 è L̂z ,
òî óðàâíåíèÿ (1.6) áóäóò àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿòüñÿ, åñëè ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ãàìèëüòîíèàíîì (1.2) èñêàòü â âèäå:

                   Ψ(r) = ΨElm (r, θ, ϕ) = fEl (r)Ylm (θ, ϕ),             (1.10)

ãäå fEl (r)  ðàäèàëüíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ âèäîì
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè U (r) è çàâèñèò îò çíà÷åíèé ïîëíîé ýíåðãèè E è
îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà l. Ïîñêîëüêó â ïîëå ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè íåò
âûäåëåííûõ íàïðàâëåíèé â ïðîñòðàíñòâå, òî ðàäèàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (r)
íå áóäåò çàâèñåòü îò çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà m. Ïðåä-
ñòàâëåíèå Ψ(r) â âèäå (1.10) ïîçâîëÿåò ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå r è (θ, ϕ) â
óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà (1.1). Ïîäñòàâëÿÿ (1.10) â (1.1) è ó÷èòûâàÿ (1.2)
è (1.4), äëÿ ôóíêöèé fEl (r) ïîëó÷àåì:
              µ      ¶          ·                    ¸
     }2 1 d       d                      }2
                                            l(l + 1)
  −            r2      fEl (r) + U (r) +               fEl (r) = EfEl (r). (1.11)
    2µ r2 dr      dr                        2µr2

Ãðàíè÷íûì óñëîâèåì äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.11) ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå
êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ fEl (r) â îáëàñòè r îò 0 äî ∞.
                                                     1
   Îáû÷íî fEl (r) ïðåäñòàâëÿþò â âèäå fEl (r) = REl (r), ÷òî ïðèâîäèò ê
                                                     r
ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå óðàâíåíèÿ (1.11):
                        ·                    ¸
        }2 d2                    }2 l(l + 1)
      −        REl (r) + U (r) +               REl (r) = EREl (r) (1.12)
        2µ dr2                      2µr2

ñ îáÿçàòåëüíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì REl (0) = 0. Ýòî óðàâíåíèå íàçû-
âàåòñÿ ðàäèàëüíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà. Ïî ñâîåé ñòðóêòóðå (1.12)


                                       5

Страницы