ВУЗ:
Составители:
µ
r =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
r U(r) = U(|r|) = U(r)
ˆ
HΨ(r) = EΨ(r)
ˆ
H =
ˆp
2
r
2µ
+
ˆ
L
2
2µr
2
+ U(r),
ˆp
r
= −i}
1
r
∂
∂r
r = −i}
µ
∂
∂r
+
1
r
¶
,
ˆ
L
2
= −}
2
½
1
sin θ
∂
∂θ
µ
sin θ
∂
∂θ
¶
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
¾
= −}
2
∇
2
θ,ϕ
Ãëàâà 1
Òðåõìåðíûå çàäà÷è. Äâèæåíèå â
öåíòðàëüíîì ïîëå
1.1 Îáùèå ïîëîæåíèÿ
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ. Åñëè ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà îáëàäàåò ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâî-
áîäû, òî çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà-
÷åíèé ñòàíîâèòñÿ ãîðàçäî áîëåå òðóäîåìêîé ïî ñðàâíåíèþ ñ îäíîìåðíûì
ñëó÷àåì. Îäíàêî íàëè÷èå ó ãàìèëüòîíèàíà îïðåäåëåííûõ ñâîéñòâ ñèììåò-
ðèè ïîçâîëÿåò â ðÿäå ñëó÷àåâ ñóùåñòâåííî îáëåã÷èòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ.
Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî óäà÷íàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ ïðèâåäåò ê óðàâíå-
íèþ â ÷àñòûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè; çàäà÷à íà
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàñïàäàåòñÿ ïðè ýòîì íà
íåñêîëüêî çàäà÷ ñ ìåíüøèì ÷èñëîì ïåðåìåííûõ, ò.å. áîëåå ïðîñòûõ.
Òàêàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî ïðè ðåøåíèè çàäà÷è î ÷àñòèöå ìàññû
µ, äâèæóùåéñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, êîãäà p ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ äî ñèëîâîãî öåíòðà r = x2 + y 2 + z 2 , íî
íå îò íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà r (U (r) = U (|r|) = U (r)).  ýòîì ñëó÷àå
ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
ĤΨ(r) = EΨ(r) (1.1)
èç-çà ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè ïîòåíöèàëà óäîáíî ðåøàòü â ñôåðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ ãàìèëüòîíèàíîì
p̂2r L̂2
Ĥ = + + U (r), (1.2)
2µ 2µr2
ãäå
µ ¶
1 ∂ ∂ 1
p̂r = −i} r = −i} + , (1.3)
r ∂r ∂r r
½ µ ¶ ¾
1 ∂ ∂ 1 ∂2
L̂2 = −}2 sin θ + 2 2
= −}2 ∇2θ,ϕ (1.4)
sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
3
