Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
L =
[r,
ˆ
p]
∇
2
θ,ϕ
ˆ
L
2
L
2
Oz
ˆ
L
z
= −i}
∂
∂ϕ
.
L
2
L
z
ˆ
L
2
ˆ
L
z
ˆ
L
2
Ψ(θ, ϕ) = L
2
Ψ(θ, ϕ);
ˆ
L
z
Ψ(θ, ϕ) = L
z
Ψ(θ, ϕ)
L
2
= }
2
l(l + 1), l = 0, 1, 2, . . . ;
L
z
= }m, m = 0, ±1, . . .
Y
lm
(θ, ϕ)
2π
Z
0
π
Z
0
Y
∗
l
0
m
0
(θ, ϕ)Y
lm
(θ, ϕ) sin θ dθ dϕ = δ
l
0
l
δ
m
0
m
;
∞
X
l=0
l
X
m=−l
Y
∗
lm
(θ
0
, ϕ
0
)Y
lm
(θ, ϕ) = δ(cos θ
0
− cos θ)δ(ϕ
0
− ϕ).
 îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (íàïîìíèì, ÷òî L̂ =
[r, p̂]). Ïåðâûå äâà ñëàãàåìûõ â ãàìèëüòîíèàíå (1.2) ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðîì
êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè; ∇2θ,ϕ â (1.4)  óãëîâàÿ ÷àñòü îïåðàòîðà Ëàïëàñà
â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïîñêîëüêó L̂2 äåéñòâóåò ëèøü íà óã-
ëîâûå ïåðåìåííûå, îí êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì (1.2), à, çíà÷èò, L2
ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ â öåíòðàëüíîì ïî-
ëå, êàê ëåãêî âèäåòü, ÿâëÿåòñÿ è ïðîåêöèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ
íà âûäåëåííîå íàïðàâëåíèå (îñü Oz ). Ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð â ñôå-
ðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä:
                                                  ∂
                                    L̂z = −i}       .                          (1.5)
                                                 ∂ϕ

Çàìåòèì, ÷òî L2 è Lz èçìåðèìû ñîâìåñòíî, ïîñêîëüêó èõ îïåðàòîðû êîì-
ìóòèðóþò. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà, îïèñûâàåìàÿ ãàìèëüòîíèàíîì (1.2)
(ò.å. ÷àñòèöà â öåíòðàëüíîì ïîëå), ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèÿõ ñ îïðå-
äåëåííîé ýíåðãèåé, îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì êâàäðàòà óãëîâîãî ìîìåíòà
è îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ïðîåêöèè óãëîâîãî ìîìåíòà íà âûäåëåííîå
íàïðàâëåíèå. Âîëíîâûå ôóíêöèè ýòèõ ñîñòîÿíèé ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî
ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè âñåõ òðåõ âûøåïåðå÷èñëåííûõ îïåðàòîðîâ.
    Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðâ L̂2 è L̂z ìî-
ãóò áûòü íàéäåíû èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèé

             L̂2 Ψ(θ, ϕ) = L2 Ψ(θ, ϕ);          L̂z Ψ(θ, ϕ) = Lz Ψ(θ, ϕ)       (1.6)

íà åäèíè÷íîé ñôåðå. Ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðîâ (1.4) è (1.5)
ÿâëÿþòñÿ

              L2 = }2 l(l + 1),                         l = 0, 1, 2, . . . ;
              Lz = }m,                                   m = 0, ±1, . . .

Èì ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Ylm (θ, ϕ), êîòîðûå íàçûâàþòñÿ
ñôåðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. Íà åäèíè÷íîé ñôåðå îíè îáðàçóþò ïîëíóþ
îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó:

              Z2πZπ
                      Yl∗0 m0 (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) sin θ dθ dϕ = δl0 l δm0 m ;     (1.7)
              0 0
         ∞
         X   l
             X
                      ∗
                    Ylm (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ) = δ(cos θ0 − cos θ)δ(ϕ0 − ϕ).     (1.8)
         l=0 m=−l




                                            4

Страницы