Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

41.
1
n
n
P
i=1
a
i
≥
n
s
n
Q
i=1
a
i
, a
i
≥ 0,
1
n
n
P
i=1
a
i
−
n
s
n
Q
i=1
a
i
=
n
√
a
1
· a
2
· ... · a
n
− n
a
1
, a
2
, ..., a
n
.
a
i
n
r
n
Q
i=1
a
i
, (i = 1, 2, ..., n).
n
P
i=1
a
i
n
s
n
Q
j=1
a
j
≥ n.
42.
1
2
·
3
4
· ... ·
2n−1
2n
<
1
√
2n+1
.
43.
n+1
√
a · b
n
<
a+nb
n+1
, a > 0, b > 0.
”n”
s
c +
r
c +
q
c + ... +
√
c ≤
1+
√
4c+1
2
, c > 0.
a) 11
n+1
+ 12
2n−1
b) 2
2
n
+ 1 n ≥ 2;
c) arctg
1
2
+ arctg
1
8
+ ... + arctg
1
2n
2
= arctg
n
n+1
;
d) 3
2n
− 1
e) 6
n
+ 20n − 1
(x, y)
x y. z = (x, y).
                            s
          n
          P                     n
                                Q                          n
                                                           P
      1                                                1
41.   n
                ai ≥        n
                                      ai , ai ≥ 0,     n
                                                                 ai − ñðåäíåå àðèôìåòè÷å-
          i=1                   i=1                        i=1
          s
                n
                Q                √
ñêîå,      n
                      ai =       n    a1 · a2 · ... · an − ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå n
                i=1
íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a1 , a2 , ..., an .
[ Óêàçàíèå. Ðàññìîòðåòü ÷èñëà r aQ    i
                                      n   , (i = 1, 2, ..., n). Ïðî-
                                  n                                ai
                                                             i=1
èçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë ðàâíî 1. Ïî ïðèìåðó (6), ðàçîáðàííîìó
               P
               n
                   ai
âûøå, si=1n                 ≥ n. Îòñþäà ñëåäóåò îòâåò ].
         Q
           n          aj
                j=1
      1
42.  · · ... · 2n−1
      2
           3
           4    2n
                         1
                    < √2n+1 .
     √
43. n+1 a · bn < a+nb
                  n+1
                      , a > 0, b > 0.
                                 s         r     q                 √           √
                                                                             1+ 4c+1
44. ”n” êîðíåé                        c+    c+       c + ... +          c≤      2
                                                                                     ,   c > 0.

45. Äîêàçàòü:
a) ÷èñëî 11n+1 + 122n−1 êðàòíî 133;
                        n
b) ÷èñëî 22 + 1 îêàí÷èâàåòñÿ íà 7 ïðè n ≥ 2;
c) arctg 12 + arctg 18 + ... + arctg 2n1 2 = arctg n+1
                                                    n
                                                       ;
d) 32n − 1 äåëèòñÿ íà 8;
e) 6n + 20n − 1 êðàòíî 25.

                                  Ÿ2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà.

      À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû.
   Ðàññìîòðèì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó (x, y) âåùåñòâåííûõ ÷è-
ñåë x è y. Îáîçíà÷èì z = (x, y). Ïóñòü äàíû ïàðû

                                                     17

Страницы