Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
1
= (x
1
, y
1
), z
2
= (x
2
, y
2
),
1) z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), (21)
2) z
1
· z
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
, x
1
y
2
+ x
2
y
1
). (22)
(x, y)
x − (x = Re z), y −
(y = Im z). y = 0, (x, 0)
x : (x, 0) = x.
(0, 0)
C. R
C.
z
1
= (x
1
, y
1
), z
2
= (x
2
, y
2
),
z
1
= z
2
, x
1
= x
2
, y
1
= y
2
.
z
1
z
2
z, z
2
z
1
.
z
1
− z
2
= (x
1
− x
2
, y
1
− y
2
).
z
1
z
2
z, z
2
z
1
.
z =
z
1
z
2
= (
x
1
x
2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
,
x
2
y
1
− x
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
). (23)
(0, 1) = i
z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), äëÿ êîòîðûõ ââåäåì ïðàâèëà ñëî-
æåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî:

                 1) z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ),           (21)

             2) z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).   (22)
 ýòîì ñëó÷àå óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (x, y) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñ-
íûì ÷èñëîì, x − âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü (x = Re z), y −
ìíèìàÿ ÷àñòü (y = Im z). Åñëè y = 0, òî ïàðà (x, 0)
îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì x : (x, 0) = x.
 ÷àñòíîñòè ïàðà (0, 0) îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ íóëåì. Ìíîæåñòâî
âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷èì ÷åðåç C. Ìíîæåñòâî R
ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì C.
   Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z1 = (x1 , y1 ), è z2 = (x2 , y2 ), íàçû-
âàþòñÿ ðàâíûìè z1 = z2 , åñëè x1 = x2 , y1 = y2 .
   Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ
÷èñåë îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ñóììà è ïðîèçâåäåíèå
âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.
   Ðàçíîñòüþ äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2 íàçûâàåòñÿ
òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z, êîòîðîå â ñóììå ñ z2 äàåò z1 .
Ïîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî z1 − z2 = (x1 − x2 , y1 − y2 ).
   ×àñòíûì äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2 íàçûâàåòñÿ
òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z, êîòîðîå ïðè óìíîæåíèè íà z2
äàåò z1 . Ïîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî
                   z1    x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2
              z=      =(              ,              ).       (23)
                   z2      x22 + y22     x22 + y22
   ×èñëî (0, 1) = i íàçûâàåòñÿ ìíèìîé åäèíèöåé. Âîçâåäÿ
ýòî ÷èñëî â êâàäðàò, ïîëó÷èì â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ

                                  18

Страницы