Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)], (25)
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)], r
2
6= 0, (26)
n z,
n− z
z
n
.
z
n
= r
n
(cos nϕ + i sin nϕ) (27)
w n−
z
n
√
z w
n
= z.
w
k
=
n
√
r(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
), k = 0, (n − 1). (28)
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re
iϕ
. (29)
z z = re
iϕ
ln z = ln r + iϕ.
óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:

              z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )],     (25)
          z1   r1
             = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )], r2 6= 0, (26)
          z2   r2
òî åñòü ïðè óìíîæåíèè ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, àðãóìåíòû ñêëà-
äûâàþòñÿ, à ïðè äåëåíèè ìîäóëè äåëÿòñÿ, à àðãóìåíòû âû÷èòà-
þòñÿ. (Ïîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî).
    Ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí z,
íàçûâàåòñÿ n− ñòåïåíüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ
ñèìâîëîì z n . Ïîëó÷èì

                         z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)              (27)

(ôîðìóëà Ìóàâðà).
   Êîìïëåêñíîå ÷èñëî w íàçûâàåòñÿ êîðíåì n−é ñòåïåíè èç
                      √
÷èñëà z (îáîçíà÷àåòñÿ n z ) åñëè wn = z. ëåãêî ïîëó÷èòü
          √           ϕ + 2kπ         ϕ + 2kπ
   wk =   n
              r(cos           + i sin         ), k = 0, (n − 1).   (28)
                         n               n
   Åñëè ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
(çäåñü ìû å¼ íå äîêàçûâàåì), òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ïåðå-
õîäèò
                  z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ .      (29)
Ïðåäñòàâëåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z â âèäå z = reiϕ íàçûâà-
åòñÿ ïîêàçàòåëüíîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
   Ìîæíî âû÷èñëèòü ëîãàðèôì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:

                              ln z = ln r + iϕ.

                                     20

Страницы